Trabalhando com tridimensional osciladores harmónicos

Na física quântica, quando você está trabalhando em uma dimensão, a partícula geral oscilador harmônico parece com a figura mostrada aqui, onde a partícula está sob a influência de uma força de restauração - neste exemplo, ilustrado como uma mola.

A força restauradora tem a forma F_x = -k_xx em uma dimensão, onde k_xé a constante de proporcionalidade entre a força sobre a partícula e a localização da partícula. A energia potencial da partícula como função da localização x é

Isto também é por vezes escrito como

Agora, dê uma olhada no oscilador harmônico em três dimensões. Em três dimensões, o potencial parece com isso:

Agora que você tem um formulário para o potencial, você pode começar a falar em termos de equação Schr # de 246-dinger:

Substituindo na para o potencial de três dimensões, V (X, Y, Z), Dá-lhe esta equação:

Tome esta dimensão por dimensão. Porque você pode separar o potencial em três dimensões, você pode escrever

Portanto, o Schr # equação 246-dinger parece com isso para x:

Resolver essa equação, você receber essa solução seguinte:

Onde

e n_x = 0, 1, 2, e assim por diante. o H_nx termo indica um polinômio hermite, que se parece com isso:

• H₀(x) 1 =

• H₁(x) = 2x

• H₂(x) 4 =x² - 2

• H₃(x) 8 =x³ - 12x

• H₄(x) = 16x⁴ - 48x² + 12

• H₅(x) = 32x⁵ - 160x³ + 120x

Portanto, você pode escrever a função de onda como esta:

Isso é uma forma relativamente fácil para uma função de onda, e é tudo possível graças ao fato de que você pode separar o potencial em três dimensões.

E sobre a energia do oscilador harmônico? A energia de um oscilador harmónico unidimensional é

E, por analogia, a energia de um oscilador harmónico tridimensional é dada pela

Note que se você tiver um oscilador harmônico isotrópico, onde

a energia parecida com esta:

Quanto ao potencial cúbico, a energia de um oscilador harmónico isotrópico 3D é degenerada. Por exemplo, E₁₁₂ = E₁₂₁ = E₂₁₁. Na verdade, é possível ter mais de degenerescência tríplice para um oscilador harmônico isotrópico 3D - por exemplo, E₂₀₀ = E₀₂₀ = E₀₀₂ = E₁₁₀ = E₁₀₁ = E₀₁₁.

Em geral, a degenerescência de um oscilador de harmónica é isotrópica 3D

Onde n = n_x + n_y + n_z.