Traduzir o Schr & # 246-dinger de equação para Três Dimensões

Na física quântica, você pode quebrar o tridimensional Schr # equação 246-dinger em três schr equações nº 246-Dinger unidimensionais para torná-lo mais fácil de resolver problemas 3D. Em uma dimensão, o Schr # equação 246-dinger dependente do tempo (o que lhe permite encontrar uma função de onda) se parece com isso:

E você pode generalizar que em três dimensões como este:

Usando o operador Laplaciano, você pode reformular isso em uma forma mais compacta. Aqui está o que o Laplacian se parece com:

E aqui é a equação nº 246-dinger 3D Schr usando o Laplacian:

Para resolver esta equação, quando o potencial não varia com o tempo, quebrar a parte dependente do tempo da função de onda:

Aqui,

é a solução da equação Schr # 246-dinger independente do tempo, e E é a energia:

Por enquanto, tudo bem. Mas agora você correr em uma parede - a expressão

é em geral muito difícil de lidar, então a equação atual é em geral muito difícil de resolver.

Então o que você deveria fazer? Bem, você pode se concentrar sobre o caso em que a equação é separável - isto é, onde você pode separar o x, y, e z dependência e encontrar a solução em cada dimensão separadamente. Em outras palavras, nos casos separáveis, o potencial, V (x, y, z), É na verdade a soma de a x, y, e z potenciais:

V (x, y, z) = V_x(x) + V_y(y) + V_z(z)

Agora você pode quebrar o Hamiltonian em

em três Hamilitonians, H_x, H_y, e H_z:

Onde

Quando você dividir o Hamiltoniano como no

você também pode dividir a função de onda que resolve essa equação. Em particular, você pode quebrar a função de onda em três partes, uma para x, y, e z:

Onde X (x), Y (y), E Z (z) São funções das coordenadas x, y, e z e não devem ser confundidos com os operadores de posição. Esta separação da função de onda em três partes vai tornar a vida muito mais fácil, porque agora você pode quebrar o Hamiltonian em três operadores separados somados:

E = E_x + E_y + E_z

Então agora você tem três Schr # equações 246-Dinger independentes para as três dimensões:

Este sistema de equações diferenciais independentes parece muito mais fácil de resolver do que

Em essência, você quebrou o tridimensional Schr # equação 246-dinger em três Schr # equações 246-Dinger unidimensionais. Isso faz com que a solução de problemas 3D tratável.