Como simplificar e dividir o Schr & # 246 Equation-dinger de hidrogênio

Na física quântica, pode ser necessário simplificar e dividir o Schr # equação 246-dinger de hidrogênio. Aqui está o Schr # equação da mecânica quântica de costume 246-dinger para o átomo de hidrogênio:

O problema é que você está tendo em conta a distância que o próton é do centro de massa do átomo, de modo a matemática é confuso. Se você tivesse que assumir que o próton é estacionária e que r_p= 0, esta equação iria quebrar para o seguinte, que é muito mais fácil de resolver:

Infelizmente, essa equação não é exato porque ignora o movimento do próton, então você vê a versão mais-completo da equação em textos mecânica quântica.

Para simplificar o Schr # equação de costume 246-dinger, pode mudar para as coordenadas do centro de massa. O centro de massa do sistema de protões / electrões é neste local:

E o vector entre o elétron eo próton é

r = r_e - r_p

usando vectores R e r ao invés de r_e e r_p faz com que o Schr # equação 246-dinger mais fácil de resolver. O Laplaciano para R é

E o Laplaciano para r é

Como você pode se relacionar

a da equação habitual

Após a álgebra se instala, você começa

em que M = m_e+ m_p é a massa total e

chama-se a massa reduzida. Quando você junta as equações para o centro de massa, o vetor entre o próton eo elétron, a massa total e, m, em seguida, o Schr # equação 246-dinger independente do tempo torna-se o seguinte:

Em seguida, tendo em conta os vectores, R e r, o potencial é dado por,

O Schr # equação 246-dinger torna-se então

Isso parece mais fácil - a melhoria principal é que agora você tem |r| no denominador do potencial termo de energia, em vez de |r_e - r_p|.

Porque a equação contém termos que envolvem tanto R ou r mas não de ambos, a forma desta equação indica que é uma equação diferencial separável. E isso significa que você pode olhar para uma solução da forma seguinte:

Substituindo a equação anterior para o que antes dela dá-lhe o seguinte:

E dividindo essa equação por

da-te

Bem, bem, bem. Esta equação tem termos que dependem tanto

mas não ambos. Isso significa que você pode separar esta equação em dois equações, como este (em que o total de energia, E, é igual a E_R + E_r):

multiplicando

da-te

e multiplicando

da-te

Agora você tem dois Schr # equações 246-Dinger, que você pode resolver de forma independente.