Como obter o Schr & # 246-dinger Equação
Na física quântica, a Schr # técnica 246-dinger, que envolve mecânica ondulatória, utiliza funções de onda, principalmente na base de posição, para reduzir a perguntas em física quântica para uma equação diferencial.
Werner Heisenberg desenvolveram a visão orientada a matriz da física quântica, algumas vezes chamado de mecânica matricial. A representação matricial é bom para muitos problemas, mas às vezes você tem que ir passado, como você está prestes a ver.
Um dos problemas centrais da mecânica quântica é para calcular os níveis de energia de um sistema. O operador de energia é chamado o Hamiltoniano, H, e encontrar os níveis de energia de um sistema de quebra de encontrar os valores próprios do problema:
Aqui, E é um autovalor do operador H.
Aqui é a mesma equação em termos de matriz:
Os níveis de energia admissível do sistema físico são os valores próprios E, que satisfazem esta equação. Estes podem ser encontrados resolvendo o polinômio característico, que deriva de definir o determinante da matriz acima de zero, como assim
Isso é bom se você tem uma base discreta de autovetores - se o número de estados de energia é finito. Mas e se o número de estados de energia é infinito? Nesse caso, você não pode mais usar uma base discreta para seus operadores e sutiãs e kets - você usa um contínuo base.
Representando a mecânica quântica em uma base contínua é uma invenção do físico Erwin Schr nº 246-dinger. Na base contínua, somatórios tornar integrais. Por exemplo, ter a seguinte relação, onde I é a matriz identidade:
Torna-se o seguinte:
E cada ket
pode ser expandida em uma base em outros cados,
como isso:
Dê uma olhada em que o operador posição, R, em uma base contínua. Aplicando este operador dá-lhe r, o vetor posição:
Nesta equação, a aplicação do operador posição de um vector de estado retorna os locais, r, uma partícula que pode ser encontrado em. Você pode expandir qualquer ket na base de posição como esta:
E isso se torna
Aqui está uma coisa muito importante para compreender:
é o onda função para o vetor de estado
- é a representação da ket na base de posição.
Ou, em termos comuns, é apenas uma função na qual a quantidade
representa a probabilidade de que a partícula irá ser encontrado na região d3r centrado em r.
A função de onda é a base do que é chamado mecânica ondulatória, em oposição a matriz mecânica. O que é importante perceber é que quando você fala sobre o que representa sistemas físicos na mecânica de ondas, você não usar os sutiãs e kets de matriz de base-less mechanics em vez disso, você costuma usar a função de onda - isto é, sutiãs e TFE na base posição.
Portanto, você vai de falar
Esta função de onda é apenas um ket na base de posição. Assim, em mecânica de ondas,
torna-se o seguinte:
Você pode escrever isso como o seguinte:
Mas o que é
É igual a
O operador Hamiltoniano, H, é a energia total do sistema, cinética (p2/ 2m) Mais potencial (V (r)) De modo a obter a seguinte equação:
Mas, o operador é impulso
Portanto, substituindo o operador impulso para p dá-lhe o seguinte:
Usando o operador Laplaciano, você começa esta equação:
Você pode reescrever essa equação como a seguinte (o chamado Schr # equação 246-dinger):
Então, na visão mecânica ondulatória da física quântica, você está trabalhando agora com uma equação diferencial em vez de várias matrizes de elementos. Isso tudo veio trabalhar na base de posição,
Quando você resolver o Schr # equação 246-dinger de
pode encontrar os estados de energia permitidos para um sistema físico, assim como a probabilidade de que o sistema será em certo estado de posição.
Note-se que, além de funções de onda na base de posição, você também pode dar uma função de onda na base de momentum,
ou em qualquer número de outras bases.