Como encontrar o autoestado Energia de um Harmonic Oscillator no espaço Posição

Na física quântica, é possível usar operadores para determinar a eigenstate energia de um oscilador harmônico no espaço posição. O encanto de usar os operadores uma e

é que, dado o estado fundamental, | 0>, os operadores permitem que você encontrar todos os estados de energia sucessivos. Se você quiser encontrar um estado animado de um oscilador harmônico, você pode começar com o estado fundamental, | 0>, e aplicar o operador de levantamento,

Por exemplo, você pode fazer isso:

E assim por diante. Em geral, você tem essa relação:

você não pode obter um eigenstate espacial desse eigenvector? Algo como

não apenas | 0>? Sim você pode. Em outras palavras, você quer encontrar

Então, você precisa as representações de

posição no espaço.

o p é definido como operador

Porque

você pode escrever

e escrita

isto torna-se

Ok, o que acontece com o uma operador? Você sabe disso

E essa

Portanto,

Você também pode escrever esta equação como

Ok, então isso é uma na representação posição. O que é

Que acaba por ser esta:

Agora é a hora de ser inteligente. Você quer resolver para | 0> no espaço posição ou lt; x| 0>. Aqui é a parte inteligente - quando você usa o operador de redução, uma, on | 0>, você tem que obter 0, porque não há nenhum estado mais baixo do que o estado fundamental, portanto, uma | 0> = 0. E a aplicação do lt; x | bra dá-lhe lt; x | uma | 0> = 0.

Isso é inteligente, porque ele vai dar-lhe uma equação diferencial homogénea (isto é, aquele que é igual a zero). Primeiro, você substituir uma:

Multiplicando ambos os lados por

dá-lhe a seguinte

A solução para esta equação diferencial é compacto

Isso é uma função gaussiana, de modo que o estado fundamental de um oscilador harmônico da mecânica quântica é uma curva de Gauss, como você vê na figura.