Como determinar harmónicas oscilador autoestados de um Sistema

Na física quântica, quando você tem as eigenstates de um sistema, você pode determinar os estados de destinação do sistema ea probabilidade relativa de que o sistema estará em qualquer um desses estados.

O comutador de operadores A, B é [A, B] = AB - BA, por isso, note que o comutador de

é a seguinte:

Este é igual ao que se segue:

Esta equação se decompõe em

E montar essa equação com o Hamiltoniano,

Ok, com as relações de comutador, você está pronto para ir. A primeira pergunta é: se a energia do estado | n> É E_n, o que é a energia do estado uma| n>? Bem, para encontrar este, reorganizar o comutador

Em seguida, usar isso para escrever a ação de

como isso:

assim uma| n> Também é um auto-estado do oscilador harmônico, com energia

Nota_n. É por isso uma chama-se a aniquilação ou baixa operador: Ela reduz o nível de energia de um eigenstate oscilador harmônico em um nível.

Então, qual é o nível de energia

Você pode escrever isso como este:

Tudo isto significa que

é um auto-estado do oscilador harmônico, com energia

E não apenas_n - isto é, o

aumenta o nível de energia de um auto-estado do oscilador harmônico em um nível.

Então agora você sabe que

Você pode derivar o seguinte a partir destas equações:

C e D são constantes positivas, mas o que eles igual? Os estados |n - 1> e |n + 1> tem que ser normalizada, o que significa que lt;n - 1 |n - 1> = lt;n + 1 |n + 1> = 1. Então dê uma olhada na quantidade usando o operador C:

E porque |n - 1> é normalizada, lt;n - 1 |n - 1> = 1:

Mas você também sabe que

o operador de nível de energia, de modo a obter a seguinte equação:

lt; n| N | n> = C²

N | n > = n | n >, Onde n é o nível de energia, assim

nlt; n | n > = C²

Contudo, lt; n| n > = 1, então

Este, finalmente, diz-lhe, de uma | n > = C | n - 1>, que

Isso é legal - agora você sabe como usar o operador de redução, uma, em eigenstates do oscilador harmônico.

E sobre o operador de levantamento,

Primeiro você reorganizar o comutador

Então você seguir a mesma linha de raciocínio que você toma com o uma operador para mostrar o seguinte:

Portanto, neste ponto, você sabe o que os valores próprios de energia são e como a captação e operadores redução afetar os eigenstates oscilador harmônico.