Como encontrar Comutadores do momento angular, L

Na física quântica, você pode encontrar comutadores de momento angular, L. Primeiro examine L_x, eu_y, e eu_z dando uma olhada em como eles commute- se deslocar (por exemplo, se [L_x, eu_y] = 0), então você pode medir quaisquer dois deles (L_x e eu_y, por exemplo) exatamente. Se não, então eles estão sujeitos à relação de incerteza, e você não pode medir-los simultaneamente exatamente.

Ok, então qual é o comutador de L_x e eu_y? usando L_x = YP_z - ZP_y e eu_y = ZP_x - XP_z, você pode escrever o seguinte:

[EU_x, eu_y] = [YP_z - ZP_y, ZP_x - XP_z]

Você pode escrever esta equação como

Mas

Então L_x e eu_y não comutar, o que significa que você não pode medir ambos simultaneamente com precisão completa. Você também pode mostrar que

Porque nenhum dos componentes do momento angular comutar uns com os outros, você não pode medir quaisquer dois simultaneamente com precisão completa. Ratos.

Isso também significa que o L_x, eu_y, e eu_z os operadores não podem compartilhar as mesmas eigenstates. Então o que você pode fazer? Como você pode encontrar um operador que compartilha eigenstates com os vários componentes do L de modo que você pode escrever os eigenstates como | eu, m>?

O truque habitual aqui é que o quadrado do momento angular, L², é um escalar, não um vetor, por isso vai comutar com o L_x, eu_y, e eu_z operadores, não há problema:

• [EU², eu_x] = 0

• [EU², eu_y] = 0

• [EU², eu_z] = 0

Ok, legal, você está fazendo progresso. porque L_x, eu_y, e eu_z não comutar, você não pode criar uma auto-estado que lista números quânticos para qualquer dois deles. Mas porque L² comuta com eles, você pode construir auto-estados que têm valores próprios para L² e qualquer um de L_x, eu_y, e eu_z. Por convenção, a direção que geralmente é escolhido é L_z.