Como alterar coordenadas retangulares para esféricas Coordenadas
Na física quântica, para encontrar as funções próprias reais (não apenas os auto-estados) de operadores de momento angular como L2 e euz, você ligar a partir de coordenadas retangulares, x, y, e z, para coordenadas esféricas porque ele vai fazer a matemática muito mais simples (afinal, o momento angular é sobre as coisas andando em círculos). A figura a seguir mostra o sistema de coordenadas esféricas.
No retangular (cartesiano) sistema de coordenadas, você usa x, y, e z orientar-se. No sistema de coordenadas esférico, você também usar três grandezas:
Como mostra a figura. Você pode traduzir entre o esférico sistema de coordenadas e aquele rectangular desta forma: O r vector é o comprimento do vector para a partícula que possui momento angular,
é o ângulo de r de z eixo, e
é o ângulo de r de x eixo.
Considere as equações para o momento angular:
Quando você toma as equações de movimento angular com as equações de conversão de coordenadas do sistema esférico, você pode derivar o seguinte:
Ok, estas equações parecem muito envolvidos. Mas há uma coisa a notar: Eles dependem apenas
o que significa que seus auto-estados dependem apenas
não em r. Assim, as funções próprias dos operadores na lista anterior pode ser denotado como este:
Tradicionalmente, você dá o nome
para as funções próprias do momento angular em coordenadas esféricas, então você tem o seguinte:
Tudo bem, é hora de trabalhar em encontrar a verdadeira forma de
Você sabe que quando você usar o L2 e euz operadores no eigenstates momento angular, você tem isso:
Assim, o seguinte deve ser verdadeiro:
Na verdade, você pode ir mais longe. Note-se que Lz depende apenas
o que sugere que você pode dividir
-se em uma parte que depende de
e uma parte que depende
splitting
em partes parece com isso:
Isso é o que torna o trabalho com coordenadas esféricas tão útil - você pode dividir as funções próprias em duas partes, uma que depende apenas
e uma parte que depende apenas
