Como encontrar a relação de incerteza de Heisenberg a partir do zero
Se você já leu através das últimas seções, agora você está armado com toda essa nova tecnologia: operadores hermitianas e comutadores. Como você pode colocá-lo para trabalhar? Você pode chegar com a relação de incerteza de Heisenberg começando praticamente do zero.
Aqui é um cálculo que leva você de algumas definições básicas para a relação de incerteza de Heisenberg. Este tipo de cálculo mostra que quanto mais fácil é usar a notação sutiã e ket base a menos do que a versão matriz completa de vetores de estado. Este não é o tipo de cálculo que você precisa fazer em sala de aula, mas segui-lo através - saber utilizar as TFE, sutiãs, comutadores, e operadores hermitianas é vital nos próximos capítulos.
A incerteza em uma medição do operador Hermitian nomeado um é formalmente dado por
Isso é,
é igual à raiz quadrada do valor expectativa de um2 menos o valor esperado quadrada de A. Se você tiver tomado quaisquer aulas de matemática que lidavam com as estatísticas, esta fórmula pode ser familiar para você. Da mesma forma, a incerteza na medida usando um operador hermitiano B é
Agora considere o operadores
(não as incertezas
mais), e assumir que a aplicação
como operadores lhe dá valores de medição como este:
Como qualquer operador, usando
pode resultar em novas cados:
Aqui está a chave: A desigualdade de Schwarz dá-lhe
Assim você pode ver que o sinal da desigualdade,
que desempenha um papel importante na relação de incerteza de Heisenberg, já tem se arrastado para o cálculo.
(A definição de um operador Hermitian), você pode ver que
Isso significa que
Assim, você pode reescrever a desigualdade de Schwarz como este:
Ok, para onde foi esse dado a você? É hora de ser inteligente. Note que você pode escrever
é o anticommutator dos operadores
(as constantes e subtrair), você pode reescrever esta equação:
Aqui é onde a matemática fica intenso. Dê uma olhada no que você sabe até agora:
O comutador de dois operadores hermitianas, [a, b], é anti-Hermitian.
O valor esperado de um anti-Hermitian é puramente imaginário.
o
é Hermitian.
O valor esperado de um Hermitian é real.
Tudo isto significa que você pode visualizar o valor esperado da equação como a soma de bens
E porque o segundo termo à direita é positivo ou zero, você pode dizer que o seguinte é verdadeiro:
Ufa! Mas agora comparar a desigualdade da relação do uso anterior da desigualdade de Schwarz:
Combinando as duas equações dá-lhe isto:
Isto tem a aparência da relação de incerteza de Heisenberg, exceto para os suportes valor esperado traquinas, lt; >, Eo fato de que
aparecem quadrado aqui. Você quer reproduzir a relação de incerteza de Heisenberg aqui, que se parece com isso:
Ok, então como você começa o lado esquerdo da equação de
Porque uma equação anterior diz que
você sabe o seguinte:
Tomando o valor esperado do último termo nesta equação, você obter este resultado:
Quadrado da equação anterior
para obter o seguinte:
E comparando essa equação ao antes, você concluir que
Legal. Isso significa que o resultado
Essa desigualdade, finalmente, significa que
Bem, bem, bem. Assim, o produto de dois incertezas é maior do que ou igual a metade do valor absoluto do comutador de seus respectivos operadores? Uau. É que a relação de incerteza de Heisenberg? Bem, dê uma olhada. Na mecânica quântica, o operador impulso parece com isso:
E o operador para o impulso na direção x é
Então, qual é o comutador do operador X (que apenas retorna o x posição de uma partícula) e
você começa nesta próxima desigualdade (lembre-se,
aqui estão as incertezas x e
não os operadores):
Cachorro quente! Essa é a relação de incerteza de Heisenberg. (Note que, derivando-lo a partir do zero, no entanto, você não é realmente limitado o mundo físico através do uso de matemática abstrata - você apenas provou, usando algumas premissas básicas, que você não pode medir o mundo físico com perfeita precisão.)