Combine as soluções para r Pequenas e Grandes r na Schr & # 246-dinger Equação
Quando você aplica o Schr # equação 246-dinger mecânica quântica por um átomo de hidrogênio, você precisa colocar juntos as soluções para pequenas r e grande r. A equação Schr nº 246-dinger dá-lhe uma solução para o radial Schr # equação 246-dinger de um átomo de hidrogênio como segue:
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onde f (r) É alguma função ainda não descobertos, indeterminado de r. Sua próxima tarefa é determinar f (r), O que você faz, substituindo esta equação na radial Schr # equação 246-dinger, dando-lhe o seguinte:
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Realizando a substituição dá-lhe a seguinte equação diferencial:
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uma equação bastante diferencial, eh? Mas é só sentar e relaxar - você resolvê-lo com uma série de potência, que é uma forma comum de resolução de equações diferenciais. Aqui está o formulário de série de potência de f (r) usar:
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Substituindo a equação anterior para o que antes dela lhe dá
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Alterando o índice de o segundo termo de k para k - 1 dá-lhe
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Porque cada termo nesta série tem que ser zero, você tem
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dividindo por rk-2 da-te
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Esta equação dá a relação de recorrência da série infinita,
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Isto é, se você tiver um coeficiente, você pode obter o próximo usando esta equação. O que isso lhe comprar? Bem, dê uma olhada na relação de umak/umak-1:
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Aqui está o que esta relação se aproxima como k vai para o infinito:
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Isto assemelha-se a expansão de ex, qual é
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Quanto a e2x, a proporção de termos sucessivos é
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E no limite
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a razão dos coeficientes de expansão de sucessivos e2xaproxima-se 2 /k:
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Esse é o caso de e2x. Para f (r), Você tem
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Comparando estas duas equações, é evidente que
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A função de onda radial, Rnl(r), se parece com isso:
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Onde
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Conectando a forma que você tem para f (r),
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Ok, você deve estar muito feliz? Bem não. Aqui está o que a função de onda
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parece:
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E substituindo em sua forma de Rnl(r) A partir desta equação dá-lhe
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