Cavando as raízes polinomiais com Factoring

Quando resolver raízes (x

-intercepta de um polinômio), você geralmente precisa factor a regra função e defina-igual a 0. A fatoração pode ser simples e óbvia ou complicado e obscuro. Você sempre esperança para o simples e óbvia, mudança para um desafio e factível, e recorrer ao Número 147-grandes armas # 148- quando os fatores são mais obscuros.

Antes de ir para esses comprimentos, porém, você precisa de esgotar outros métodos. Os outros métodos de factoring incluir

• Dividindo um maior fator comum (GCF)

• Factoring um binômio quadrado perfeito

• Factoring pelo agrupamento

• Factoring trinômio quadrática-like

Exemplos de perguntas

1. Encontrar as raízes (soluções) do polinômio x⁷ - 82x⁵ + 81x³ = 0.

   x= 0, 0, 0, 9, -9, 1, -1. Esta equação tecnicamente tem sete soluções, mas a 0 é uma raiz múltipla, assim você acaba com apenas cinco números diferentes. Para encontrar essas soluções, você primeiro fator x³ fora de cada termo para obter x³(x⁴ - 82x² + 81) =

   Os dois binómios são ambos a diferença de quadrados perfeitos, para que possa levar-los para a diferença e soma das raízes dos termos. você começa x³(x - 9) (x + 9) (x - 1) (x + 1) = 0. Ajuste cada um dos fatores iguais a 0, você encontrar as raízes.

2. Encontrar as raízes (soluções) do polinômio x³ - 16x² + 100x - 1600 = 0.

   x = 16. O polinômio não possui um fator comum nos quatro termos, mas você pode agrupar os termos para os pares de fatores comuns. você começa x²(x - 16) + 100 (x - 16) = 0, que factores em (x - 16) (x² + 100) = 0. O segundo binomial é a soma dos quadrados, a qual não é considerada.

   Definir esses dois fatores iguais a 0, você obtém x = 16 do primeiro fator, mas o segundo fator não produz quaisquer respostas reais. Mesmo que você começou com um polinómio de terceiro grau, o que pode render até três soluções, este polinomial tem apenas uma raiz real. A solução é apenas x = 16.

questões práticas

1. Encontrar as raízes (soluções) do polinômio 3x⁴ - 12x³ - 27x² + 108x = 0.

2. Encontrar as raízes (soluções) do polinômio x⁵ - 16x³ + x² - 16 = 0.

3. Encontrar as raízes (soluções) do polinômio x⁶ + 9x³ + 8 = 0.

4. Encontrar as raízes (soluções) do polinômio 36x⁵ - 13x³ + x = 0.

Seguem-se respostas para as questões práticas:

1. A resposta é x= 0, 3, -3, 4.

   Primeiro fator 3x fora de cada termo para obter 3x(x³ - 4x² - 9x + 36) = 0. Em seguida, pode levar os termos nos parênteses, agrupando: 3x[x²(x - 4) -9 (x - 4)] 3 =x[(x - 4) (x² - 9)] = 3x[(x - 4) (x - 3) (x + 3)] = 0. Conjunto de cada factor igual a 0 a resolver para as raízes.

2. A resposta é x= 4, -4, -1.

   Os fatores polinomiais por agrupamento: x³(x² - 16) + 1 (x² - 16) = (x² - 16) (x³ + 1) = (x - 4) (x + 4) (x + 1) (x² - x + 1) = 0. Os três primeiros fatores dar-lhe as raízes reais. O último fator é uma quadrática que não tem solução real quando você defini-lo igual a 0.

   Você realmente não tem de levar x³ + 1 em 6 problema para encontrar a raiz. Se você apenas definir x³ + 1 igual a 0, você obtém x³ = -1, E tomando a raiz cúbica de ambos os lados dá-lhe a solução -1. A forma consignado simplesmente mostra como esse problema poderia ter tido cinco raízes, mas nem todos são números reais neste caso.

3. A resposta é x= -2, -1.

   O polinômio é quadrática-like. Ele fatores em (x³ + 8) (x³ + 1) = 0. Definir cada fator igual a 0, você tem duas raízes.

4. A resposta é

   

   Em primeiro lugar, o factor x fora de cada termo para obter x(36x⁴ - 13x² + 1) = 0. Os fatores trinomiais quadrática semelhantes, dando-lhe x(9x² - 1) (4x² - 1) = 0. Cada binomial é a diferença de quadrados, para que ambos fator de binômios. Para a fatoração final, você acaba com x(3x - 1) (3x + 1) (2x - 1) (2x + 1) = 0. Definir cada fator igual a 0 dá-lhe as cinco soluções diferentes.