Como fator A expressão polinomial

Em matemática, fatoração

ou factoring é o rompimento de um polinômio em um produto de outros polinômios menores. Se você escolher, você poderia, então, multiplicar esses fatores juntos, e você deve obter o polinômio original (esta é uma ótima maneira de verificar-se sobre suas habilidades de factoring). Um conjunto de fatores, por exemplo, de 24 a 6 e 4 porque 6 vezes 4 = 24. Quando você tem um polinômio, uma maneira de resolvê-lo é fator-lo para o produto de dois binómios.

Você tem várias opções de factoring para escolher quando a resolução de equações polinomiais:

• Para um polinômio, não importa quantos termos que tem, sempre verificar se há uma maior fator comum(GCF) em primeiro lugar. Literalmente, o maior fator comum é a maior expressão que vai entrar em todos os termos. Usando o GCF é como fazer a propriedade distributiva para trás.

• Se a equação é uma trinômio - ele tem três termos - você pode usar o método FOLHA para multiplicar binômios para trás.

• Se é um binômio, procurar diferença de quadrados, diferença de cubos, ou soma de cubos.

Finalmente, após o polinômio é plenamente integrado, você pode usar a propriedade do produto de zero para resolver a equação.

Se um polinômio não Factor, ele é chamado primordial porque os seus únicos fatores são 1 e ele próprio. Quando você já tentou todos os truques de factoring em sua bolsa (GCF, para trás FOLHA, diferença de quadrados, e assim por diante), e a equação quadrática não vai fator, então você pode completar o quadrado ou usar a fórmula quadrática para resolver a equação . A escolha é sua. Você pode até mesmo potencialmente optar por utilizar sempre quer completar a fórmula quadrado ou quadrática (e ignorar o factoring) para resolver uma equação. Factoring pode às vezes ser mais rápido, por isso é recomendado que você experimentá-lo pela primeira vez.

formulário padrão para uma expressão quadrática (simplesmente uma equação quadrática sem o sinal de igual) é a x-termo quadrado, seguido pela x prazo, seguido pela constante - por outras palavras,

Se você está dado uma expressão quadrática que não está na forma padrão, reescrevê-lo na forma padrão, colocando os graus em ordem decrescente. Isso faz com que factoring mais fácil (e às vezes é mesmo necessário fator).

Sempre o primeiro passo: Procure um GCF

Não importa quantas termos um polinômio tem, é sempre importante verificar se há um maior fator comum (GCF) em primeiro lugar. Se houver um GCF, ele vai fazer factoring o polinômio muito mais fácil porque o número de fatores de cada termo será menor (porque você vai ter consignado um ou mais deles para fora!). Isto é especialmente importante se o GCF inclui uma variável.

Se você se esqueça de levar este GCF, você também pode esquecer de encontrar uma solução, e que poderia misturar-lo em mais maneiras do que uma! Sem essa solução, você pode perder uma raiz, e então você pode acabar com um gráfico incorreta para o seu polinomial.

Fatorar o polinômio

por exemplo, siga estes passos:

1. Quebrar cada termo em fatores primos.

   Isso expande a expressão para

   

2. Procure fatores que aparecem em cada termo único para determinar o GCF.

   Neste exemplo, você pode ver um 2 e dois x'S em cada prazo. Estes são sublinhadas a seguir:

   

3. Fatorar o GCF para fora de cada termo na frente de parênteses, e deixar os restos dentro dos parênteses.

   Você tem agora

   

4. Multiplique para simplificar cada termo.

   Isto dá-lhe

   

5. Distribuir para garantir que o GCF está correto.

   

Envolvê-lo: O método FOLHA para trinômio

Depois de ter verificado um polinômio para uma GCF (independentemente de ele teve um ou não), para tentar levar novamente. Você pode achar que é mais fácil de fator após o GCF foi consignado fora. O polinômio acima teve dois fatores:

No entanto, o segundo fator pode ser capaz de levar novamente porque é um trinômio, e se isso acontecer, você terá mais dois fatores que são ambos os binômios.

A maioria dos professores mostram o método palpite-and-cheque de factoring, onde você anotar dois conjuntos de parênteses;

- e, literalmente, conecte palpites para os fatores para ver se algo funciona. Talvez o seu primeiro palpite para este exemplo seria (3x - 2) (x - 1), mas se você frustrado isto, você obteria

e você tem que adivinhar novamente. Este método palpite-and-cheque é looooooong e tedioso, na melhor das hipóteses. Na verdade, este em particular é quadrática primordial, assim você podia adivinhar e verificar todo o dia e que seria Nunca fator.

Se você está em pré-cálculo e seu professor está usando o método de adivinhar-e-cheque de factoring, que simplesmente não está funcionando para você, você veio para a seção direita. O procedimento a seguir, denominado método FOLHAde factoring (às vezes chamado de Método britânica), Sempre funciona para factoring trinômio e é uma ferramenta muito útil se você não pode envolver o seu cérebro em torno palpite-e-check. Quando o método FOLHA falhar, você sabe com certeza o quadrática dado é primo.

O método FOLHA de factoring chama para que você siga os passos necessários para frustrar binômios, única para trás. Lembre-se que quando você Florete, você multiplicar os primeiros, fora, dentro e último termos juntos. Então você combinar qualquer termos semelhantes, que geralmente vêm da multiplicação do exterior e os termos internos.

Por exemplo, para levar

Siga esses passos:

1. Verifique se o GCF em primeiro lugar.

   A expressão

   

   não terá GCF quando você dividi-la e analisá-la, de acordo com as etapas na última seção. A repartição se parece com isso:

   

   Há factores que são comuns a cada termo, portanto, não há GCF. Isso significa que você começa a passar para a próxima etapa.

2. Multiplique o termo quadrático e o termo constante.

   Tenha cuidado com os sinais quando você faz isso. Neste exemplo, o termo quadrático é

   

3. Anote todos os fatores do resultado, em pares.

   

4. -1x e 10x

5. 1x e -10x

6. -2x e 5x

7. 2x e -5x

8. A partir desta lista, encontrar o par que contribui para produzir o coeficiente do termo linear.

   Você quer que o par cuja soma é +3x. Para este problema, a resposta é-2x e 5x Porque

   

9. Quebra-se o termo linear em dois termos, usando os números da Etapa 4 como os coeficientes.

   Escrito para fora, agora você tem

   

   Ele torna a vida mais fácil a longo prazo, se você sempre organizar o termo linear com o menor coeficiente de primeira. É por isso que você colocar a -2x em frente do 5x.

10. Grupo os quatro termos em dois conjuntos de dois.

    Sempre coloque um sinal de mais entre os dois conjuntos:

    

11. Encontre o GCF para cada conjunto e fator-lo.

    Olhe para os dois primeiros termos. O que eles têm em comum? A x. Se você fator a x, Você tem x(x - 2). Agora, olhe para o segundo dois termos. Eles compartilham a 5. Se você fator a 5, você tem 5 (x - 2). O polinômio agora é escrito como x(x - 2) + 5 (x - 2).

12. Encontre o GCF dos dois novos termos.

    Você vê o (x - 2) em ambos os termos? Eles estão sublinhadas aqui: x(x - 2) + 5(x - 2). Isso é um GCF porque ele aparece em ambos os termos (se você factor de utilização deste método, o último passo deve sempre olhar como este). Fatorar o GCF de ambos os termos (é sempre a expressão dentro dos parênteses) à frente- que você começa (x - 2) (). Quando você fator-lo, os termos que não são do GCF são deixados no interior dos novos parênteses. Neste caso, você começa (x - 2) (x + 5). O (x + 5) é a sobra de tirar o GCF.

Às vezes, o sinal tem de mudar no Passo 6, a fim de levar, com razão, o GCF. Mas se você não começar com um sinal de mais entre os dois conjuntos, você pode perder um sinal negativo que você precisa para levar todo o caminho. Por exemplo, em factoring

você acaba na etapa 5 com o seguinte polinômio:

Fatorar o x no primeiro set e 4 no segundo set para chegar x(x - 9) + 4 (-x + 9). Observe que o segundo conjunto é exatamente o oposto do primeiro? Para que você se mover para a próxima etapa, os conjuntos têm de corresponder exactamente. Para corrigir esse problema, altere a 4 no meio a -4 e obter x(x - 9) - 4 (x - 9). Agora que eles corresponderem, você pode fator novo.

Se você seguir todos os passos na lista anterior, você terá um tempo fácil com trinômio de factoring. Mesmo quando uma expressão tem um coeficiente de liderança além 1, o método FOLHA ainda funciona. A chave de macaco vem apenas se não houver fatores em Passo 2 que contribuem para dar-lhe o coeficiente linear. Neste caso, a resposta é primo.