Como encontrar raízes imaginárias usando o teorema fundamental da álgebra
O teorema fundamental da álgebra pode ajudar a encontrar raízes imaginárias. raízes imaginárias aparecem em uma equação quadrática quando o discriminante da equação quadrática - a parte sob o sinal de raiz quadrada (b2 - 4CA) - É negativo. Se este valor for negativo, você não pode realmente tirar a raiz quadrada, e as respostas não são reais. Em outras palavras, não existe uma solução- verdadeira, por conseguinte, o gráfico não irá atravessar a x-eixo.
Usando a fórmula quadrática dá-lhe sempre duas soluções, porque o sinal de mais / menos significa que você está tanto somar e subtrair e obter duas respostas completamente diferentes. Quando o número debaixo do sinal de raiz quadrada na fórmula quadrática é negativo, as respostas são chamados complexos conjugados. Um é r + si e o outro é r - si. Estes números têm tanto real (o r) E imaginária (o si) partes.
O sistema de número complexo é composto de todos os números + Si r Onde r e s são números reais. Observe-se que quando s = 0, você simplesmente tem os números reais. Por conseguinte, os números reais são um subconjunto do sistema número complexo. O teorema fundamental da álgebra diz que cada função polinomial tem pelo menos uma raiz no sistema de número complexo.
O maior grau de um polinômio dá-lhe o maior número possível de distintas complexo raízes para o polinômio. Entre este fato ea regra dos sinais de Descartes, você pode ter uma idéia de quantas raízes imaginárias um polinômio tem.
Veja como regra dos sinais de Descartes pode dar-lhe o número de possíveis raízes reais, tanto positivos como negativos:
raízes reais positivos. Para obter o número de raízes reais positivos, olhe para o polinômio, escrito em ordem decrescente, e contar quantas vezes o sinal muda de termo a termo. Este valor representa o número máximo de raízes positivas no polinomial. Por exemplo, no polinomial f(x) = 2x4 - 9x3 - 21x2 + 88x + 48, você vê duas mudanças no sinal (não se esqueça de incluir o sinal do primeiro termo!) - A partir do primeiro mandato (+2x4) Para o segundo (-9x3) E a partir do terceiro termo (-21x2) Para o quarto termo (88X). Isso significa que essa equação pode ter até duas soluções positivas.
regra dos sinais de Descartes diz que o número de raízes positivas é igual a mudanças no sinal de f(x), Ou seja menos do que isso por um número par (então você vai continuar subtraindo 2 até obter 1 ou 0). Por conseguinte, o anterior f(x) Pode ter 2 ou 0 raízes positivas.
raízes reais negativas. Para obter o número de raízes reais negativas, encontrar f(-x) E contar novamente. Porque os números negativos levantados até mesmo poderes são números positivos e negativos elevadas a potências ímpares são negativos, esta mudança afeta apenas termos com poderes estranhos. Este passo é o mesmo que mudar cada termo com um grau ímpar ao seu signo oposto e contando as mudanças de sinal de novo, o que lhe dá o número máximo de raízes negativas. A equação se torna exemplo f(-x) = 2x4 + 9x3 - 21x2 - 88x + 48, o qual muda de sinais duas vezes. Não pode ser, no máximo, dois roots.However negativo, semelhante à regra de raízes positivas, o número de raízes negativas é igual à das alterações em sinal de f(-x), Ou deve ser menor do que por um número par. Por conseguinte, este exemplo pode ter 2 ou 0 raízes negativos.
Emparelhar-se a cada número possível de raízes reais positivos com cada número possível de roots- real negativo o número restante de raízes para cada situação representa o número de raízes imaginárias.
Por exemplo, o polinómio f(x) = 2x4 - 9x3 - 21x2 + 88x + 48 tem um grau de 4, com dois ou zero de raízes reais positivos, e dois ou zero de raízes reais negativas. Com esta informação, você pode emparelhar-se as possíveis situações:
Duas positivas e duas raízes reais negativas, com zero raízes imaginárias
Dois positiva e zero raízes reais negativas, com duas raízes imaginárias
Zero positivo e duas raízes reais negativas, com duas raízes imaginárias
Zero positivo e zero raízes reais negativas, com quatro raízes imaginárias
O gráfico a seguir torna as informações mais fáceis de imagem:
| raízes reais positivos | raízes reais negativas | raízes imaginárias |
|---|---|---|
| 2 | 2 | 0 |
| 2 | 0 | 2 |
| 0 | 2 | 2 |
| 0 | 0 | 4 |
Os números complexos são escritos na forma r + si e ambos têm um real e uma parte imaginária, que é por isso que cada polinômio tem pelo menos uma raiz no sistema de número complexo. números reais e imaginários são ambos incluídos no sistema número complexo. Os números reais não têm parte imaginário, e os números imaginários puros não têm parte real. Por exemplo, se x = 7 é uma raiz do polinômio, essa raiz é considerada real e complexo, pois pode ser reescrita como x = 7 + 0Eu (A parte imaginária é 0).
O teorema fundamental da álgebra dá o número total de raízes complexas (por exemplo, existem sete) - regra dos sinais de Descartes diz-lhe quantos possível existir raízes reais e quantos deles são positivos e negativos (saythere são, no máximo, duas raízes positivas mas apenas uma raiz negativa). Agora, suponha que você encontrou-los todos: x = 1, x = 7, e x = -2. Estas raízes são reais, mas eles também são complexos porque todos eles podem ser reescrito.
As duas primeiras colunas no gráfico encontrar as raízes reais e classificá-los como positivo ou negativo. A terceira coluna é realmente encontrar, especificamente, os números não reais: os números complexos não-zero partes imaginárias.