s-Domain Analysis: Pólos Entendendo e Zeros de F (s)
De Laplace pode ser utilizado para prever o comportamento de um circuito. A transformada de Laplace tem uma função no domínio do tempo f (t), e transforma-lo para a função F (s) no s-domínio. Você pode ver as transformadas de Laplace F (s) como razões de polinômios no s-domínio. Se você encontrar as raízes reais e complexas (pólos) destes polinômios, você pode ter uma idéia geral do que a forma de onda f (t) será semelhante.
Por exemplo, como se mostra nesta tabela, se as raízes são reais, em seguida, a forma de onda é exponencial. Se eles são imaginário, então é uma combinação de senos e co-senos. E se eles são complexos, então é uma sinusoid amortecimento.
As raízes do polinômio no numerador F (s) estamos zeros, e as raízes do polinômio no denominador são pólos. Os pólos resultar em F (s) explodindo ao infinito ou ser indefinido - eles são as assíntotas verticais e buracos em seu gráfico.
Normalmente, você cria um pólo-zero diagrama traçando as raízes no s-plano (real e eixos imaginários). O diagrama de pólo-zero fornece uma visão geométrica e interpretação geral do comportamento do circuito.
Por exemplo, considere transformar o seguinte Laplace F (s):
Esta expressão é um rácio de duas em polinómios s. Factoring o numerador eo denominador lhe dá a seguinte descrição Laplace F (s):
o zeros, ou raízes do numerador, são s = -1, -2. o pólos, ou raízes do denominador, são s = -4, -5, -8.
Ambos os pólos e zeros são chamados coletivamente frequências críticas porque o comportamento de saída louco ocorre quando F (s) vai a zero ou explode. Ao combinar os pólos e zeros, você tem o seguinte conjunto de frequências críticas: {-1, -2, -4, -5, -8}.
Este diagrama de pólo-zero parcelas destas frequências críticas na s-avião, proporcionando uma visão geométrica do comportamento do circuito. Neste diagrama de pólo-zero, X denota pólos e O denota os zeros.
Aqui estão alguns exemplos dos pólos e zeros das transformadas de Laplace, F (s). Por exemplo, a transformada de Laplace F1(S) para um amortecimento exponencial tem um par de transformadas como se segue:
O exponencial transformar F1(S) tem um pólo em s = -alfa- e sem zeros. Aqui, você vê o pólo de F1(S) representada no eixo real negativo no semi-plano esquerdo.
A função seno tem a seguinte transformada de Laplace par:
A equação anterior não tem zeros e dois pólos imaginários - em s = + Jbeta- e s = -jbeta-. pólos imaginários sempre vêm em pares. Estes dois pólos estão não amortecido, porque sempre que os pólos encontram-se no eixo imaginário jómega-, a função f (t) irá oscilar para sempre, sem nada para amortecer-lo. Aqui, você vê um gráfico do diagrama de pólo-zero para uma função seno.
A função de rampa tem a seguinte transformada de Laplace par:
A função de rampa tem pólos duplas na origem (s = 0) e não tem zeros.
Aqui está um par de transformadas para um sinal cosseno amortecido:
A equação anterior tem dois pólos no complexos s = alfa- + jbeta- e s = alfa- - jbeta- e um zero na s = -alfa-.
pólos complexos, como pólos imaginários, sempre vêm em pares. Sempre que você tem um par complexo de pólos, a função tem oscilações que serão amortecidas para fora a zero no tempo - eles não vão durar para sempre. O comportamento sinusoidal amortecido consiste de uma combinação de uma exponencial (devido à parte real alfa- do número complexo) e oscilador sinusoidal (devido à parte imaginária beta- do número complexo).
Aqui, você vê representado o diagrama de pólo-zero para um cosseno amortecido.
