Como representar graficamente Polinômios quando as raízes são os números imaginários - Uma Visão Geral

Na pré-cálculo e cálculo, certas funções polinomiais têm raízes não reais, além de raízes reais (e algumas das funções mais complicadas têm todos raízes imaginárias). Quando você deve encontrar tanto, começar por encontrar as raízes reais, usando técnicas como a divisão sintética. Se você tiver sorte, você é deixado com um polinômio quadrático deprimido para resolver isso é insolúvel usando respostas número real. Sem medo! Você apenas tem que usar a fórmula quadrática, através do qual você vai acabar com um número negativo sob o sinal de raiz quadrada. Portanto, você expressa a resposta como um número complexo.

Por exemplo, o polinómio g(x) = x⁴ + x³ - 3x² + 7x - 6 tem raízes não reais. Siga estes passos básicos para encontrar todos as raízes para este (ou qualquer) polinomial:

1. Classificar as raízes reais como positivo e negativo pela regra dos sinais de Descartes.

   Três mudanças de sinal na g(x) Função revela você poderia ter três ou uma raiz real positivo. Uma mudança de sinal no g(-x) Função revela que você tem uma raiz real negativa.

2. Descobrir quantas raízes são possivelmente imaginário usando o teorema fundamental da álgebra.

   O teorema revela que, neste caso, existir até quatro raízes imaginárias. Combinando este fato com a regra dos sinais de Descartes dá-lhe várias possibilidades:

3. Uma raiz real positiva e uma raiz real negativo significa que duas raízes não são reais.

4. Três raízes positivas reais e uma raiz real negativo significa que todas as raízes são reais.

5. Listar as possíveis raízes racionais, usando o teorema da raiz racional.

   Os possíveis incluem raízes racionais

   

6. Determinar as raízes racionais (se houver), usando divisão sintética.

   Utilizando as regras de divisão sintética, você acha que x = 1 é uma raiz e que x = -3 É outra raiz. Estas raízes são os únicos reais.

7. Utilize a fórmula quadrática para resolver o polinômio deprimido.

   Tendo encontrado todas as raízes reais do polinômio, divida o polinômio original pelo x-1 e o polinômio resultante por x + 3 para obter o polinômio deprimido x² - x + 2. Porque essa expressão é quadrática, você pode usar a fórmula quadrática para resolver para os dois últimos raízes. Neste caso, você obtém

   

8. O gráfico dos resultados.

   
   Gráficos do polinômio g(x) = x⁴ + x³ - 3x² + 7x - 6.

   O teste levando coeficiente revela que o gráfico observa-se em ambas as direcções. Os intervalos são os seguintes:

   

   A figura anterior mostra o gráfico desta função.