Como Guess e Check raízes reais - 2 - Raízes de teste por polinômios de divisão usando divisão longa
Depois de ter utilizado o teorema da raiz racional para listar todos os raízes possiblerational de qualquer polinomial, o próximo passo é testar as raízes. Uma maneira é usar a divisão longa de polinômios e espero que quando você divide você obtém um saldo de 0. Uma vez que você tem uma lista de possíveis raízes racionais, você, em seguida, escolher um e assumir que é uma raiz.
Por exemplo, considere a equação f(x) = 2x4 - 9x3 - 21x2 + 88x + 48, que tem as seguintes possíveis raízes racionais:
E se x = c é uma raiz, então x - c é um factor. Então, se você escolher x = 2 como o seu palpite para a raiz, x - 2 deve ser um fator. Você pode usar a divisão longa para testar se x - 2 é efectivamente um factor e, por conseguinte, x = 2 é uma raiz.
Dividindo polinômios para obter uma resposta específica não é algo que você faz todos os dias, mas a idéia de uma função ou expressão que está escrito como o quociente de dois polinômios é importante para pré-cálculo. Se você dividir um polinômio por outra e obter um saldo de 0, o divisor é um fator, que por sua vez dá uma raiz.
Em linguagem matemática, o algoritmo de divisão indica o seguinte: Se f(x) e d(x) São polinômios de tal forma que d(x) Não é igual a 0, e o grau de d(x) Não é maior do que o grau de f(x), Existem polinômios únicos q(x) e r(x)de tal modo que
Na planície Inglês, o dividendo é igual aos tempos divisor o quociente mais o restante. Você sempre pode verificar os seus resultados por lembrar esta informação.
Lembre-se do dispositivo mnemônicoDirty Monkeys Smell Bad ao fazer a divisão longa para verificar as suas raízes. Certifique-se de todos os termos do polinômio são listados em ordem decrescente e que cada grau é representado. Em outras palavras, se x2 está faltando, coloque em um espaço reservado de 0x2 e depois fazer a divisão. (Este passo é apenas para tornar o processo de divisão mais fácil.)
Para dividir dois polinômios, siga estes passos:
Divide.
Divida o termo líder do dividendo pelo termo líder do divisor. Escrever este quociente diretamente acima o termo que você acabou dividida em.
Multiply.
Multiplique o termo quociente do Passo 1 por todo o divisor. Escrever este polinomial sob o dividendo de modo que os termos como são alinhados.
Subtract.
Subtrair toda a linha que você acabou de escrever a partir do dividendo.
Você pode mudar todos os sinais e adicione se isso faz você se sentir mais confortável. Dessa forma, você não vai esquecer sinais.
Bo anel viário o próximo mandato.
Não exatamente o que este diz-derrubar o próximo mandato do dividendo.
Repita os passos 1-4 mais e mais até o polinômio restante tem um grau que é menos do que o dividendo do.
A lista a seguir explica como dividir 2x4 - 9x3 - 21x2 + 88x + 48 por x - 2. Cada etapa corresponde à etapa numeradas na ilustração desta figura.
(Note que usando a regra dos sinais de Descartes, você acha que esse exemplo específico pode ter raízes positivas, por isso é eficaz para tentar um número positivo aqui. Se a regra dos sinais de Descartes tinha dito que existia há raízes positivas, você não iria testar qualquer positivos !)
Divide.
O que você tem que multiplicar x no divisor por torná-lo tornar-se 2x4 no dividendo? O quociente, 2x3, vai acima da 2x4 prazo.
Multiply.
Multiplique este quociente pelo divisor e escrevê-lo sob o dividendo.
Subtract.
Subtrair esta linha a partir do dividendo: (2x4 - 9x3) - (2x4 - 4x3) = -5x3. Se você já fez o trabalho direito, a subtração dos primeiros termos produz sempre 0.
Bo anel viário.
Derrubar os outros termos do dividendo.
Divide.
O que você tem que multiplicar x por fazê-lo -5x3? Coloque a resposta, -5x2, acima a -21x2.
Multiply.
Multiplicar a -5x2 vezes o x - 2 para obter -5x3 + 10x2. Escrevê-lo sob o restante com os graus alinhados.
Subtract.
agora você tem (-5x3 - 21x2) - (-5x3 + 10x2) = -31x2.
Bo anel viário.
a 88x toma o seu lugar.
Divide.
O que multiplicar por fazer x tornar -31x2? O quociente -31x vai acima -21x2.
Multiply.
O valor -31x vezes (x - 2) é -31x2 + 62x- escrevê-lo sob o restante.
Subtract.
agora você tem (-31x2 + 88x) - (-31x2 + 62x), Que é 26x.
Bo anel viário.
A 48 vem para baixo.
Divide.
O termo 26x dividido por x é 26. Essa resposta vai em cima.
Multiply.
A constante de 26 multiplicado por (x - 2) é 26x - 52.
Subtract.
Você subtrair (26x + 48) - (26x - 52) para obter 100.
Stopo.
O restante 100 tem um grau que é menos do que o divisor de x - 2.
Uau . . . agora você sabe por que eles chamam longo divisão. Você passou por tudo isso para descobrir que x - 2 não é um factor do polinómio, o que significa que x = 2 não é uma raiz.
Se você dividir por c e o restante é 0, então a expressão linear (x - c) É um fator e que c é uma raiz. Um remanescente diferente de 0 implica que (x - c) Não é um factor e que c não é uma raiz.