Como encontrar o volume de um sólido entre duas superfícies de revolução

Se você quiser encontrar o volume de um sólido que cai entre duas superfícies diferentes de revolução, você pode usar o método de carne slicer para fazer isso. o método de carne slicer funciona melhor com os sólidos que têm secções transversais semelhantes. Aqui está o plano:

1. Encontrar uma expressão que representa a área de uma secção transversal aleatório do sólido em termos de x.

2. Use esta expressão para construir uma integral definida (em termos de dx) Que representa o volume do sólido.

3. Avalie este integral.

O truque é encontrar uma maneira de descrever a área em forma de rosca de uma secção transversal como a diferença entre duas integrais: um integrante que descreve toda a forma menos uma outra que descreve o buraco.

Por exemplo, suponha que você deseja encontrar o volume do sólido mostrado aqui.

Este parece sólido algo como uma tigela virou de lado. O bordo exterior é o sólido de revolução em torno do x-eixo para a função

A borda interna é o sólido de revolução em torno do x-eixo para a função

Veja como resolver este problema:

1. Encontrar uma expressão que representa a área de uma secção transversal aleatório do sólido.

   Isto é, que a área de um círculo com um raio de

   

   e subtrair a área de um círculo com um raio de

   

2. Utilizar esta expressão para construir um integral definida que representa o volume do sólido.

   Os limites de integração são 0 e 4:

   

3. Resolver o integrante:

   

   Agora avaliar esta expressão:

   

Aqui está outro problema: Encontre o volume do sólido mostrado aqui.

Este sólido quedas entre a superfície de revolução y = ln x e a superfície de revolução

limitada inferiormente por y = 0 e acima por y = 1.

A secção transversal deste sólido é mostrado no lado direito; do lado direito da figura: um círculo com um furo no meio.

Observe, no entanto, que esta secção transversal é perpendicular à y-eixo. Para utilizar o método de carne cortador, a secção transversal tem de ser perpendicular ao x-eixo. Modificar o problema usando inversas:

O problema resultante é mostrada nesta figura.

Agora você pode usar o método de carne slicer para resolver o problema:

1. Encontrar uma expressão que representa a área de uma secção transversal aleatório do sólido.

   Isto é, que a área de um círculo com um raio de e^x e subtrair a área de um círculo com um raio de

   

   Este é apenas geometria. Recordar que a área de um círculo é # 960-r²:

   

2. Utilizar esta expressão para construir um integral definida que representa o volume do sólido.

   Os limites de integração são 0 e 1:

   

3. Avaliar a integral:

   

   Assim, o volume deste sólido é de aproximadamente 9,179 unidades cúbicas.