Como medir o volume de um objeto girando-a em seu lado
Às vezes, se você quiser medir o volume de um objeto, você precisa ativá-lo de lado para que você pode usar o método de carne slicer. Este método funciona melhor com os sólidos que têm secções transversais semelhantes.
Aqui está o plano:
Encontrar uma expressão que representa a área de uma secção transversal aleatório do sólido em termos de x.
Use esta expressão para construir uma integral definida (em termos de dx) Que representa o volume do sólido.
Avalie este integral.
Usando inversas para obter um problema para fornecer o método de carne slicer.
Por exemplo, suponha que pretende medir o volume do sólido mostrado aqui. A base deste sólido (cinza claro) é limitado nos seus lados pela função y = x4 Entre o x-eixo na parte inferior e y = 2 através da parte superior. A figura 3 é unidades alta, de tal modo que a secção transversal quando se cortar paralelo com o x-eixo é uma série de triângulos isósceles, cada um com uma altura de 3 e uma base, que é a largura em toda a função y = x4.
A boa notícia é que este sólido tem secções transversais que são todos triângulos semelhantes, então o método de carne slicer vai funcionar. Infelizmente, como o problema está atualmente, você teria que fazer suas fatias perpendicular ao y-eixo. Mas para usar o método de carne slicer, você deve fazer suas fatias perpendicular ao x-eixo.
Para resolver o problema, primeiro você precisa virar o sólido para o x-eixo, como mostrado no lado direito da figura. A maneira mais fácil de fazer isso é usar o inverso da função y = x4. Para encontrar o inverso, o interruptor x e y na equação e resolva para y:
Note-se que a equação resultante
Neste caso não é uma função de x porque uma única x-valor pode produzir mais do que um y-valor. No entanto, você pode usar esta equação em conjunto com o método de carne slicer para encontrar o volume que você está procurando.
Encontrar uma expressão que representa a área de uma secção transversal aleatório do sólido.
A secção transversal é um triângulo isósceles com uma altura de 3 e uma base de
então use a fórmula para a área de um triângulo:
Utilizar esta expressão para construir um integral definida que representa o volume do sólido.
Resolver o integral.
Agora avaliar esta expressão:
