Como usar o método Shell para medir o volume de um sólido

o método de shell permite medir o volume de um sólido medindo o volume de muitas superfícies concêntricas de o volume, chamado # 147 conchas. # 148- Embora o método de shell funciona somente para sólidos com seção circular, que é ideal para sólidos de revolução ao redor do y-eixo, porque você não tem que usar inversas de funções.

Veja como funciona:

1. Encontrar uma expressão que representa a área de uma concha aleatória do sólido em termos de x.

2. Use esta expressão para construir uma integral definida (em termos de dx) Que representa o volume do sólido.

3. Avalie este integral.

Você pode usar uma lata de sopa - ou qualquer outra lata que tem uma etiqueta de papel sobre ela - como uma ajuda visual útil para lhe dar uma visão sobre como o método de shell funciona. Para começar, vá até a despensa e pegue uma lata de sopa.

Suponha que a sua lata de sopa é o tamanho industrial, com um raio de 3 polegadas e uma altura de 8 polegadas. Você pode usar a fórmula para um cilindro para descobrir o seu volume da seguinte forma:

V = UMA_b # 183- h = 3²# 960- # 183- 8 = 72 # 960;

Você também pode usar o método de shell, mostrado aqui.

Para entender o método de shell, a fatia etiqueta de papel da lata na vertical, e retire-o com cuidado da lata, como mostrado na figura. (Enquanto você está nisso, ter um momento para ler a etiqueta para que você não é deixado com # 147-mistério sopa. # 148-)

Observe que a etiqueta é simplesmente um retângulo. O seu lado mais curto é igual em comprimento à altura da lata (8 polegadas) e o seu lado mais comprido é igual à circunferência (2# 960- # 183- 3 polegadas = 6# 960- polegadas). Então, a área do rectângulo é de 48# 960- polegadas quadradas.

Agora aqui é a etapa crucial: Imagine que toda a lata é composta de um número infinito de etiquetas embrulhadas de forma concêntrica em torno de si, todo o caminho até seu núcleo. A área de cada um destes rectângulos é:

UMA 2 =# 960- x # 183- 8 16 =# 960- x

a variável x Neste caso é possível qualquer raio, a partir de 0 (o raio do círculo no centro da lata) a 3 (o raio do círculo na borda externa). Veja como utilizar o método de shell, passo a passo, para encontrar o volume da lata:

1. Encontrar uma expressão que representa a área de uma concha aleatória da lata (em termos de x):

   UMA 2 =# 960- x # 183- 8 16 =# 960- x

2. Use esta expressão para construir uma integral definida (em termos de dx) Que representa o volume da lata.

   Lembre-se que com o método de shell, você está adicionando-se todas as conchas do centro (onde o raio é 0) para a borda externa (onde o raio é de 3). Portanto, use estes números como os limites da integração:

   

3. Avalie esta integral:

   

   Agora avaliar esta expressão:

   8 =# 960- (3)² - 0 = 72# 960-

   O método concha verifica que o volume da lata é 72# 960- polegadas cúbicas.