Como Integração Works: É só gosta de Adição

O significado mais fundamental da integração é a somar. E quando você retratam a integração em um gráfico, você pode ver o processo adicionando-se como uma síntese de tiras retangulares finas de área para chegar à área total sob essa curva, como mostrado nesta figura.

Você pode calcular a área sombreada na figura acima usando esta integral:

(Note-se que tudo aqui envolve definido integração em oposição a indeterminado integração. integração definitiva é onde o alongada S símbolo de integração tem limites de integração: as duas constantes pouca ou números na parte inferior ea parte superior do símbolo. o alongada S sem limites de integração indica um indeterminado ou integrante antiderivada.)

Olhe para o retângulo fino na figura. Tem uma altura de f(x) E uma largura de dx (um pouco de x), Pelo que a sua área (comprimento vezes largura, de curso) é dada pela f(x) # 183- dx. A integral acima diz-lhe para somar as áreas de todas as tiras retangulares estreitas entre uma e b sob a curva f(x). Como as tiras obter mais estreito e mais estreito, você tem uma melhor e melhor estimativa da área. O poder da integração reside no fato de que ele dá-lhe a exato área por tipo de somar um número infinito de retângulos infinitamente finas.

Independentemente do que os pequenos pedaços são de que você está adicionando-se - eles poderiam ser pequenos pedaços de distância ou volume ou energia (ou área apenas) - você pode representar o somatório como uma soma das áreas de tiras retangulares finas sob uma curva . Se as unidades de ambos o x e y eixos são unidades de comprimento, digamos, pés, Em seguida, cada medidas finas retângulo tantos pés por tantos pés, e sua área - comprimento vezes largura - é algum número de pés quadrados. Neste caso, a área total de todos os rectângulos entre uma e b dá-lhe uma resposta área (embora não necessariamente a área real sob a curva porque a escala pode ser diferentes- por exemplo, a área sombreada na figura real acima é algumas polegadas quadradas, mas a sua resposta pode ser um número de milhas quadradas se ambos os eixos foram marcados fora em milhas). O ponto é que, neste caso, você somar o áreas de todos os retângulos, e você terá uma área responda. Normalmente, no entanto, mesmo que você somar as áreas de retângulos, a sua resposta não será uma resposta área.

Diga as unidades no x-eixo são horas (t) e o y-eixo é marcado em milhas por hora, em seguida, porque taxa vezes Tempo é igual a distância, a área de cada retângulo representa uma quantidade de distância ea área total dá-lhe a distância total percorrida durante o intervalo de tempo determinado. Ou se o x-eixo é marcado em horas (t) e o y-em eixo kilowatts de energia eléctrica - caso em que a curva de, f(t), Dá o consumo de energia como uma função do tempo - em seguida a área de cada faixa rectangular (kilowatts vezes horas) Representa um número de quilowatts-hora de energia. Nesse caso, a área total sob a curva lhe dá o número total de quilowatts-hora de consumo de energia entre dois pontos no tempo.

Outra possibilidade é ilustrada pela lâmpada acima. Digamos que você queira calcular o volume da base da lâmpada. A figura abaixo mostra como você faria isso com a integração. No gráfico, a função UMA(x) Dá a área da secção transversal de uma fatia fina panqueca da luz como uma função da sua altura, medida a partir da parte inferior da lâmpada. Assim, desta vez, o h-eixo é marcado em polegadas (isso é h como em altura a partir do fundo da luz), e o y-eixo é marcado em polegadas quadradas, e, assim, cada rectângulo fina tem uma largura medida em polegadas e uma altura, medida em polegadas quadradas. A sua área, por conseguinte, representa polegadas vezes polegadas quadradas, ou polegadas cúbicas de volume.

o área do retângulo fino nesta figura representa o volume da fatia fina panqueca da lâmpada 5 polegadas acima da parte inferior da base. A área total sombreada e, assim, o volume da base da lâmpada é dada pela seguinte integral:

Volume = (área de secção transversal) vezes (espessura)

Isto significa que adiciona-se os volumes de todas as fatias de panqueca fina de 0 a 15 polegadas (isto é, a partir do fundo para o topo da base da lâmpada), cada fatia com um volume dado pela UMA(h) (a sua área transversal) vezes dh (A sua altura ou espessura).

Para resumir - que é um trocadilho! - A expressão matemática para a direita de qualquer símbolo integração definida sempre significa um pouco de alguma coisa, e integrar essa expressão significa para somar todos os pequenos pedaços entre algumas ponto de partida e alguns ponto final para determinar o total entre os dois pontos .