Como Estatísticas mostram a conexão entre diferenciação e integração

Ainda tentando entender como diferenciação e integração trabalho? Não há problema: você pode usar estatísticas para ajudá-lo. Ao estudar a relação entre dois gráficos simples, você vai entender a relação entre diferenciação e integração (e, além do mais, você não precisa saber todas as estatísticas em todos a entender essa idéia!).

Os gráficos em questão são um gráfico de distribuição de frequência e um gráfico de distribuição de frequência cumulativa (você pode ter executado através de tais gráficos em um jornal ou revista). Dê uma olhada na figura.

O gráfico superior na figura mostra um histograma de distribuição de frequência dos lucros anuais de Widgets-R-Us partir de 1 de janeiro de 2001 a 31 de dezembro de 2013. O retângulo marcado '07, por exemplo, mostra que o lucro da empresa em 2007 foi de $ 2000000 (o seu melhor ano durante o período 2001-2013).

O gráfico de baixo na figura é uma acumulativo histograma de distribuição de frequência para os mesmos dados usados ​​para o gráfico superior. A diferença é simplesmente que no gráfico cumulativo, a altura de cada coluna mostra os lucros totais obtidos desde 1/1/2001. Olhe para a coluna '02 no gráfico inferior e os '01 e '02 retângulos no gráfico superior, por exemplo. Você pode ver que a coluna '02 mostra o retângulo '02 sentado em cima do retângulo '01 que dá que '02 coluna de uma altura igual ao total dos lucros de '01 e '02. Entendi? Como você vá para a direita no gráfico cumulativo, a altura de cada coluna sucessiva simplesmente cresce pela quantidade de lucros apurados no exercício único correspondente mostrado no gráfico superior.

OK. Então aqui está a conexão cálculo. Olhe para o rectângulo superior da coluna '08 no gráfico cumulativo (vamos chamar esse gráfico C abreviado). Nesse ponto no C, você corre entre 1 ano e subir acima de $ 1.250.000, o lucro '08 você vê no gráfico de distribuição de frequência (F abreviado). Declive = aumento / run, assim, uma vez que a execução é igual a 1, a inclinação é igual 1250000/1, ou apenas 1.250.000, que é, é claro, o mesmo que o aumento. Assim, a inclinação sobre C (Em '08 ou qualquer outro ano) pode ser lido como uma altura em F para o ano correspondente. (Certifique-se de ver como isso funciona.) Desde as alturas (ou valores de função) em F são as encostas do C, F é o derivado do C. Em resumo, F, a derivada, informa sobre a inclinação C.

A próxima idéia é que uma vez F é o derivado de C, C, por definição, é a antiderivada de F (por exemplo, C pode ser igual a 5x³ e F seria igual a 15x²). Agora, o que faz C, a antiderivada de F, informá-lo sobre F? Imagine-arrastando uma linha vertical da esquerda para a direita sobre F. Como você varrer os retângulos em F - ano a ano - o lucro total que está varrendo é mostrado subindo ao longo C.

Olhe para os '01 através '08 retângulos no F. Você pode ver esses mesmos retângulos subir moda escada-passo ao longo C (Ver os retângulos rotulados A, B, C, etc. em ambos os gráficos). As alturas dos retângulos de F continuar a adicionar-se em C como você subir a forma escada-passo. E você viu como os mesmos '01 através '08 retângulos que se encontram ao longo do topo da escada-passo C Também pode ser visto numa pilha vertical em anos '08 sobre C. O gráfico cumulativo é desenhada dessa maneira por isso é ainda mais evidente como as alturas dos retângulos somar. (Nota: A maioria dos histogramas cumulativos não são desenhados desta forma.)

Cada retângulo no F tem uma base de 1 ano, por isso, uma vez que

a área de cada rectângulo é igual à sua altura. Então, como você empilhar retângulos em C, você está adicionando-se as áreas desses retângulos de F. Por exemplo, a altura da pilha '08 '01 através de rectângulos sobre C ($ 8500000) é igual à área total das '01 '08 através rectângulos sobre F. E, portanto, as alturas ou os valores da função de C - que é a antiderivada de F - dar-lhe a área sob o bordo de topo de F. É assim que funciona a integração.

Ok, você está quase pronto. Agora vamos passar por como esses dois gráficos explicar a relação entre diferenciação e integração. Olhe para os '06 através '12 retângulos no F (Com a borda negrito). Você pode ver esses mesmos retângulos na parte em negrito da coluna de '12 C. A altura da pilha que negrito, o que mostra o total de lucros obtidos durante esses 7 anos, $ 7,75 milhões, é igual à área total dos 7 retângulos em F. E para chegar a altura da pilha em que C, basta subtrair a altura da borda inferior da pilha do alto de sua borda superior. Isso é realmente tudo a versão de atalho do teorema fundamental diz: O área sob qualquer porção de uma função (como F) É dada pela mudança de altura em antiderivada da função (como C).

Em poucas palavras (manter a olhar para aqueles retângulos com a fronteira negrito em ambos os gráficos), o encostas dos retângulos em C aparecem como alturas em F. Isso é diferenciação. Invertendo a direção, você vê integração: A mudança de alturas em C mostra o área debaixo F. Voil # 224-: diferenciação e integração são duas faces da mesma moeda.