Encontrar áreas exatas sob uma curva Usando o Definite Integral

Ao aproximar a área sob a curva, usando a esquerda, direita ou ponto médio retângulos, os mais retângulos que você usa, melhor será a aproximação. Assim, "todos" você teria que fazer para obter a área exata sob uma curva é usar um número infinito de retângulos. Agora, você não pode realmente fazer isso, mas com a fantástica invenção de limites, isto é uma espécie do que acontece. Aqui está a definição da integral definida que é usado para calcular áreas exatas.

o integral definida ("simples" definição):A área exata sob uma curva entre x = uma e x = b é dado pelo integral definida, que é definido como o limite de uma soma de Riemann:

Isso é uma coisa de beleza ou o quê? Note-se que esta soma (tudo para a direita de "lim") é idêntica à fórmula para n retângulos direita, R_n:

A única diferença é que você tome o limite do que a fórmula como o número de retângulos se aproxima do infinito

Esta definição da integral definida é a versão simples com base na fórmula retângulo direita. Você vai ver a definição real-McCoy em um momento, mas porque todas as somas de Riemann para um problema específico tem o mesmo limite - em outras palavras, não importa que tipo de retângulos que você usa - assim como você pode utilizar o direito; definição retângulo. É o menos complicado e sempre vai ser suficiente.

Aqui é a área exata sob f(x) = x²+ 1 entre x = 0 e x = 3:

Grande surpresa.

Este resultado é bastante surpreendente se você pensar sobre isso. Usando o processo de limite, você receber um exato resposta de 12 - algo como 12,00 milhões ... a um número infinito de casas decimais - para a área sob a função suave, curvando f(x) = x²+ 1, com base nas áreas dos rectângulos achatadas que correm ao longo da curva de uma forma irregular, em dente de serra.

Encontrar a área exata de 12 usando o limite de uma soma de Riemann é um monte de trabalho (lembre-se, você primeiro tem que determinar a fórmula para n retângulos direita). Este método complicado de integração é comparável a determinar um derivado da maneira mais difícil, usando a definição formal que é com base no quociente diferença.

Uma vez que o limite de todas as somas de Riemann é a mesma, os limites de, no infinito n rectângulos esquerda e n retângulos ponto médio - para f(x) = x²+ 1 entre x = 0 e x = 3 - deve dar-lhe o mesmo resultado que o limite no infinito de n retângulos certas. Aqui é o limite retângulo esquerda:

E aqui está o limite de retângulo ponto médio:

Se você é um tanto incrédulo que estes limites realmente dar-lhe o exato área sob f(x) = x²+ 1 entre 0 e 3, você não está sozinho. Afinal, nestes limites, como em todos os problemas de limite, o número seta

é apenas aproximaram- nunca é realmente atingido. E em cima disso, o que significaria para alcançar o infinito? Você não pode fazê-lo. E independentemente de quantos retângulos que você tem, você sempre tem que borda irregular, dente de serra. Então, como pode um tal método dar-lhe a área exata?

Olhe isto deste modo. Dê uma olhada nas duas figuras seguintes.

F (x) = x² + 1. "/>

Você pode dizer a partir desses números que a soma das áreas dos retângulos esquerda, independentemente do seu número, será sempre um debaixoestimar (este é o caso para as funções que estão a aumentar ao longo do período em questão).

E a partir da figura a seguir, você pode ver que a soma das áreas dos retângulos certas, independentemente de quantos você tem, será sempre um sobreestimar (para funções aumentando).

Então, porque os limites no infinito da subestimação ea superestimação são ambos igual a 12, que deve ser a área exata. (Um argumento similar funciona para as funções diminuindo.)

Todas as somas de Riemann para um determinado problema de ter o mesmo limite. Não são apenas os limites no infinito da esquerda, retângulos direita, e do ponto médio do mesmas para um determinado problema, o limite de qualquer soma de Riemann também lhe dá a mesma resposta. Você pode ter uma série de retângulos com desigual widths- você pode ter uma mistura de esquerda, direita, e rectangles- ponto médio ou você pode construir os retângulos forma que elas toquem a curva em algum lugar diferente em seus cantos superiores esquerdo ou direito ou nos pontos médios de seus lados superiores. A única coisa que importa é que, no limite, a largura de todos os retângulos tende a zero (e a partir deste segue-se que o número de retângulos se aproxima do infinito). Isso leva você para o seguinte totalmente extremo baixo-e-suja jumbo, mumbo integração que leva todas essas possibilidades em conta.

o integral definida (Definição real-McCoy): A integral definida de

é o número para o qual todas as somas de Riemann tendem como a largura de todos os rectângulos tende para zero e como o número de rectângulos se aproxima do infinito:

é a largura da Euth retângulo e c_Eu é o x-de coordenadas do ponto em que o Eutoques retângulo th f (x). (Que

simplesmente garante que a largura de todas as rectângulos se aproxima de zero, e que o número de rectângulos se aproxima do infinito).