A definição do integral definido e como funciona
Você pode aproximar a área sob uma curva somando-se à direita, à esquerda ou retângulos ponto médio. Para encontrar uma área exata, você precisa usar uma integral definida.
Quando você aproximar a área sob a curva, os topos dos retângulos formar uma forma de dente de serra que não se encaixa perfeitamente ao longo da função curva suave. Então, para encontrar o exato área sob a curva usando retângulos, você precisa encontrar a área de um número infinito de retângulos infinitamente finas cujas # 147-topos # 148- não se encaixam perfeitamente a curva. Agora, você não pode realmente usar um número infinito de retângulos, mas com a fantástica invenção de limites, isto é uma espécie do que acontece.
Aqui está o # 147-simple # 148- definição da integral definida que é usado para calcular áreas exatas. Ele é baseado no limite de uma soma de Riemann de retângulos certas. A área exata sob uma curva entre uma e b é dado pela integral definida, que é definido como se segue:
Ao calcular uma área aproximada ou exata sob uma curva, todos os três somas - esquerda, direita, e ponto médio - são chamados de somas de Riemann após o grande matemático alemão G. F. B. Riemann (1826-1866). Basicamente, qualquer quantia composta de retângulos é uma soma de Riemann, incluindo as importâncias estranhos que consistem em retângulos de largura desigual.
Usando esta fórmula, aqui é a área exata sob x2 + 1 entre 0 e 3:
Este resultado é bastante surpreendente se você pensar sobre isso. Usando o processo de limite, você receber um exato resposta de 12 - que é uma espécie de 12,00 milhões # 133- precisão de um número infinito de casas decimais - para a área sob a função suave, curvando-se, x2 + 1, com base nas áreas de retângulos achatadas que funcionam ao longo da curva em um fundo irregular, forma de dente de serra.
Encontrar a área exata de 12 usando o limite de uma soma de Riemann é um monte de trabalho. Este método complicado de integração é comparável a determinar um derivado da maneira mais difícil, usando a definição formal que é com base no quociente diferença. E como usar o quociente diferença para encontrar um derivado, você não vai usar o limite de uma soma de Riemann para calcular a área uma vez que você aprender o método de atalho de encontrar área.
Você só funcionou a área sob x2 + 1, usando a fórmula para a soma dos retângulos certas. (By the way, se você estiver indo para calcular a área de maneira mais difícil a utilização do limite de uma soma de Riemann, assim como você pode usar sempre certo rectangles- é provavelmente a maneira mais fácil de ir). Acontece, porém, que você poderia ter usado retângulos esquerda ou retângulos ponto médio. Na verdade, você poderia ter usado uma mistura de diferentes tipos de retângulos (não tente fazer isso em casa). Não importa que tipo de retângulos que você usa, o limite sempre sai o mesmo.
Isso leva você para o seguinte totalmente extremo baixo-e-suja jumbo, mumbo integração que leva todas essas possibilidades em conta. Você provavelmente nunca utilizar a seguinte definição da integral definida. Então, por que você deve aprender? Boa pergunta. Que tal por causa da beleza da matemática pura? Ou, se você não comprar isso e só estão interessados em uma razão prática, apenas sobre a única motivação prática para aprender esta definição é que ela pode estar em um exame.
O integral definido (definição real-McCoy):
