Como calcular o comprimento Arc com Integração
Quando você usar a integração para calcular o comprimento do arco, o que está fazendo (tipo de) está dividindo um comprimento de curva em infinitamente pequenas seções, descobrir o comprimento de cada pequena parte e, em seguida, adicionando-se todos os pequenos comprimentos. A figura a seguir mostra como cada seção de uma curva pode ser aproximada pela hipotenusa de um pequeno triângulo certo.
Você pode imaginar que ao aumentar o zoom mais e mais em uma curva, dividindo a curva em mais e mais secções, as secções hora se endireitarem e reto e os hipotenusa dos triângulos retângulos melhor e melhor aproximar a curva. É por isso que - quando esse processo de somar seções menores e menores é levado ao limite - você começa a duração exacta da curva.
Então, tudo que você tem a fazer é somar todas as hipotenusa ao longo da curva entre os pontos de partida e chegada. Os comprimentos das pernas de cada triângulo são infinitesimal dx e dy, e, portanto, o comprimento da hipotenusa - dada pelo Teorema de Pitágoras - é
Para somar todos os hipotenusa de uma para b ao longo da curva, você só integrar:
Mas, primeiro, você tem que ajustar isso um pouco para produzir a fórmula para o comprimento do arco.
O comprimento de arco ao longo de uma curva, y=f(x), a partir de uma para b, é dado pela seguinte integral:
A expressão dentro desta integral é simplesmente o comprimento da hipotenusa de um representante.
Tente esta: Qual é o comprimento ao longo
a partir de x = 1 a x = 5?
Tome a derivada de sua função.
Ligue este na fórmula e integrar.
(Veja como isso funciona? É a técnica de integração palpite-e-check com a regra de potência reversa. O 4/9 é a quantidade de tweak você precisa por causa do coeficiente 9/4).
Agora, se você alguma vez encontrar-se em uma estrada com a forma de
e do seu odômetro quebrado, você pode descobrir o tamanho exato da sua unidade. Seus amigos serão muito impressionado - ou muito preocupados.