Como encontrar a área de uma superfície de revolução
Uma superfície de revolução é uma superfície tridimensional com secções transversais circulares, como um vaso ou uma campainha ou uma garrafa de vinho. Para esses problemas, você divide a superfície em bandas circulares estreitas, descobrir a área de superfície de uma banda representativa, e depois é só somar as áreas de todas as bandas para obter a superfície total. A figura a seguir mostra uma forma com uma banda representativa.
Qual é a área da superfície de uma banda representativa? Bem, se você cortar a banda e desenrolá-lo, você começa uma espécie de retângulo longo, estreito cuja área, é claro, é comprimento vezes largura.
Superfície de revolução:A superfície gerada pela rotação de uma função, y = f (x), Em torno de um eixo tem uma área de superfície - entre uma e b - dado pela seguinte integral:
By the way, na explicação acima, você pode estar se perguntando por que a largura da faixa retangular é
É porque a pequena largura de banda é inclinado em vez de horizontal (caso em que seria apenas dx). O fato de que ele está inclinado faz com que funcione como a hipotenusa de um pequeno triângulo certo. A expressão de aparência extravagante para a largura da banda vem de trabalhar para fora o comprimento deste hipotenusa com o Teorema de Pitágoras. Isso deve fazer você se sentir muito melhor!
Se o eixo de revolução é a x-eixo, r será igual f (x) - Como se mostra na figura acima. Se o eixo de revolução é uma outra linha, como y = 5, é um pouco mais complicado - algo para olhar para frente.
Agora tente um problema: Qual é a área de superfície - entre x = 1 e x = 2 - da superfície gerada pela revolução
sobre a x-eixo?
Tome a derivada de sua função.
Agora você pode terminar o problema, apenas obstruindo tudo na fórmula, mas você deve fazê-lo passo a passo para reforçar a ideia de que sempre que você integrar, você escreve para baixo um pouco representativa de algo - que é o integrando - então você somar todos os pedacinhos de integração.
Figura área da superfície de uma banda estreita representativa.
Adicionar-se as áreas de todas as bandas de 1 a 2 por integração.
