Encontrar a área de uma superfície de revolução
A coisa agradável sobre encontrar a área de uma superfície de revolução é que não há uma fórmula que você pode usar. Memorizá-lo e você está a meio caminho feito.
Para determinar a área de uma superfície de revolução entre uma e b, utilizar a seguinte fórmula:
Esta fórmula é longo e complicado, mas faz mais sentido quando você passar um pensamento minutos sobre ele. O integral é feita a partir de duas peças:
A fórmula de comprimento de arco, o qual mede o comprimento ao longo da superfície
A fórmula para a circunferência de um círculo, que mede o comprimento em torno da superfície
Assim, multiplicando esses dois pedaços juntos é semelhante ao multiplicar o comprimento e largura para encontrar a zona de um rectângulo. Com efeito, a fórmula permite medir área de superfície como um número infinito de pequenos retângulos.
Quando você está medindo a superfície da volta de uma função f(x) em volta do x-eixo, substituto r = f(x) Na fórmula:
Por exemplo, suponha que você deseja encontrar a área de revolução que é mostrado nesta figura.
Para resolver este problema, em primeiro lugar para notar que
Portanto, definir o problema da seguinte maneira:
Para começar, simplificar o problema um pouco:
Você pode resolver esse problema usando o seguinte substituição de variáveis:
agora substituir você para 1+ 9x4 e
para x3 dx na equação:
Observe que você alterar os limites da integração: Quando x = 0, você = 1. E quando x = 1, você = 10.
Agora você pode realizar a integração:
Por fim, avaliar a integral definida:
