10 Coisas para lembrar sobre Integração e Calculus

A integração é uma parte fundamental do cálculo. Se você quer se tornar uma pessoa totalmente integrada (em oposição a um derivado), integrar estas regras de integração e torná-los parte integrante do seu ser.

A regra trapezoidal

A regra trapezoidal vai lhe dar uma boa aproximação da área sob uma curva no caso em que você é incapaz de - ou você escolher não - obter a área exata com a integração.

A regra do ponto médio

Uma ainda melhor aproximação área é dada pela regra do ponto médio - ele usa retângulos.

Regra de Simpson

A melhor estimativa área é dada pela regra de Simpson - ele usa formas trapezoidais-like que têm topos parabólicas.

Se você já tem, digamos, a aproximação do ponto médio por dez retângulos e à aproximação trapezoidal por dez trapézios, você pode facilmente calcular a aproximação da regra de Simpson por dez curvas com tampo # 147 trapézios # 148- com o seguinte atalho:

Isso lhe dá uma extraordinariamente boa aproximação.

A integral definida

Em essência, o que todos integrais definidas,

fazer é adicionar-se um número infinito de infinitamente pequenos pedaços de alguma coisa para obter o montante total da coisa entre uma e b. A expressão após o símbolo integral,

(a integrando), É sempre uma expressão matemática de uma peça representativa do material que você está adicionando-se.

A integral indefinida

A integral indefinida,

é a família de todas as primitivas de

É por isso que a sua resposta tem que acabar com # 147- + C.# 148- Por exemplo,

é a família de todas as parábolas de forma

tal como

e assim por diante. O derivado de todas essas funções é 2x.

altura do retângulo é igual a parte inferior de menos topo

Se você está adicionando-se retângulos com uma integral definida para obter a área total entre duas curvas, você precisa de uma expressão para a altura de um retângulo representativo. Este deve ser um acéfalo: é apenas superior do retângulo y coordenar menos sua parte inferior y coordenada.

Área abaixo do eixo x é negativo

Se você quiser, por exemplo, a área abaixo a x-eixo e acima

entre

e

o topo de um rectângulo representativo é na x-eixo, a função

e sua parte inferior está em

Assim, a altura do rectângulo é

e você usar o seguinte integral definida para obter a área:

que é igual, é claro,

Então, é isso negativo integrante dá-lhe a ordinária positivo área. E é por isso que um ordinário positivo integrante dá-lhe uma negativo área para as partes de uma curva que se encontram abaixo do x-eixo.

Integrar em pedaços

Quando você quer a área total entre duas curvas e o Número 147-top # 148- alterações da função porque as curvas se cruzam uns aos outros, você tem que usar mais de uma integral definida. Cada lugar as curvas se cruzam define a borda de uma área que você deve integrar separadamente. (Se uma função atravessa a x-eixo, você tem que considerar

como a segunda função eo xintercepta como os pontos de passagem.)

O teorema fundamental do cálculo, tome 1

Dada uma função área

que varre a área sob

nomeadamente

a taxa a que a área está a ser varrido para fora é igual à altura da função original. Assim, porque a taxa é a derivada, a derivada da função área é igual à função original:

O teorema fundamental do cálculo, tome 2

Deixei F ser qualquer antiderivada da função f- então