O teorema fundamental do Cálculo

O teorema fundamental do cálculo é um dos teoremas mais importantes na história da matemática. Ele afirma que, dada uma função de área UMA_f que varre a área sob f (t),

a taxa a que a área está a ser varrido para fora é igual à altura da função original. Assim, porque a taxa é a derivada, a derivada da função área é igual à função original:

Porque

você também pode escrever a equação acima da seguinte forma:

Quebrar os sais aromáticos.

Agora, porque o derivado de UMA_f (x) é f (x), UMA_f (x) É por uma definição antiderivada do f (x). Confira como este funciona olhando para uma função simples, f (t) = 10, e a sua função de zona,

De acordo com o teorema fundamental,

Assim UMA_f deve ser uma primitiva de 10- Por outras palavras, UMA_f é uma função cuja derivada é 10. Porque qualquer função da forma de 10x + C, Onde C é um número, se um derivado de 10, a primitiva de 10 é 10x + C. O número específico C depende da sua escolha de s, o ponto onde você começa a varrer a área. Para uma escolha particular de s, a função área será a única função (de todas as funções na família de curvas 10x + C) Que atravessa o x-eixo a s. Para descobrir C, definir a primitiva igual a zero, o valor de ligar s para dentro x, e para resolver C.

Para esta função com uma antiderivada de 10x + C, se você começar a varrer a área, digamos,

ou apenas 10x. (Observe que C não é necessariamente igual s. Na verdade, ele normalmente não faz

Quando s = 0, C muitas vezes também é igual a 0, mas não para todas as funções.)

A figura mostra o porquê UMA_f (x) = 10x é a função área correta, se você começar a varrer a área em zero.

No gráfico superior na figura, a área sob a curva de 0 a 3 é de 30, e que é dada pela

E você pode ver que a área de 0 a 5 é 50, que concorda com o fato de que

Se em vez de começar a varrer a área em s = -2 E definir uma função nova área,

assim C é igual a 20 e B_f (x) É, assim, 10x + 20. Esta função área é mais do que 20 UMA_f (x), Que começa em s = 0, porque se você começar em s = -2, Você já varrido para fora uma área de 20 pelo tempo que você chegar a zero. A figura mostra o porquê B_f (3) é mais do que 20 UMA_f (3).

E se você começar a varrer a área na

e a função é a área

Esta função é de 30 Menos do que UMA_f (x) Com porque C_f (x), Você perde o retângulo de 3-por-10 entre 0 e 3, que UMA_f (x) Tem (ver o gráfico na figura inferior).

Uma função de área é uma antiderivada. A área varrida para fora abaixo da linha horizontal f (t) = 10 a partir de algum número s para x, é dada por uma primitiva de 10, ou seja, 10x + C, em que o valor de C Depende de onde você começar a varrer a área.

Agora, dê uma olhada em alguns gráficos de UMA_f (x), B_f (x), E C_f (x).

(Note-se que a figura anterior não mostra os gráficos de UMA_f (x), B_f (x), E C_f (x). Você vê três gráficos da função de linha horizontal, f (t) = 10 e você ver as áreas varrido para fora sob f (t) de UMA_f (x), B_f (x), E C_f (x), Mas você não realmente ver os gráficos destas três funções da área.)

A segunda figura mostra os gráficos das equações de UMA_f (x), B_f (x), E C_f (x) Que você trabalhou antes: UMA_f (x) = 10X, B_f (x) = 10x + 20, e C_f (x) = 10x - 30. (Como você pode ver, todos os três são simples, y = mx + b linhas.) O y-valores destas três funções dar-lhe as áreas varridas sob f (t) = 10 que você vê na primeira figura. Note-se que os três x-intercepta que você vê na segunda figura são os três x-valores na primeira figura, onde varrer área começa.

Você já trabalhou-se que UMA_f (3) = 30, e que UMA_f (5) = 50. Pode ver as áreas de 30 e 50 no gráfico superior da primeira figura. Na segunda figura, você vê estes resultados sobre UMA_f nos pontos (3, 30) e (5, 50). Você também viu na primeira figura que B_f (3) foi mais do que 20 UMA_f (3) - você vê esse resultado na segunda figura, onde (3, 50) em B_f 20 é maior do que (3, 30) sobre UMA_f . Finalmente, você viu na primeira figura que C_f (x) É inferior a 30 UMA_f (x). A segunda figura mostra que de uma maneira diferente: em qualquer x-valor, o C_f A linha é de 30 unidades abaixo do UMA_f linha.

Algumas observações. Você já sabe a partir do teorema fundamental que

(E o mesmo para B_f (x) e C_f (x)). Isso foi explicado anteriormente em termos de taxas: Para UMA_f, B_f, e C_f, a taxa de área a ser varrida sob f (t) = 10 é igual a 10. A segunda figura mostra também que

(E o mesmo para B_f, e C_f), Mas aqui você vê o derivado como um declive. As pistas, é claro, de todas as três linhas igual a 10. Por fim, note que as três linhas na segunda figura diferem um do outro apenas por uma translação vertical. Estas três linhas (e a infinidade de todas as outras linhas na vertical, traduzidas) são todos membros da classe de funções, 10x + C, a família de primitivas de f (x) = 10.