Como a função Área Works

A função área é um pouco estranho. Prepara-te. Digamos que você tem qualquer função de idade, f(t). Imagine que em algum t-valor, chamá-lo s, você desenhar uma linha vertical fixo. (Note-se que porque esta linha está fixado, s é uma constante, não uma variável.) Confira a figura abaixo.

Em seguida, adicione uma linha vertical móvel (linha pontilhada na figura) no t-valor x. Você começa com a linha pontilhada na s(# 147-s# 148- é para iniciando ponto), e arraste-o para a direita. À medida que arrasta a linha, você varrer uma área cada vez maior sob a curva entre s e x. Esta área é uma função de x, a posição da linha de movimento.

Em símbolos, você escreve

o dt é um pouco ao longo do incremento t-eixo - na verdade, um infinitamente pequeno incremento.

Aqui está um exemplo simples para se certificar de que você tem uma alça sobre como a função de área funciona. By the way, não se sinta mal se você encontrar este extremamente difícil de entender - você tem muita companhia. Digamos que você tem a função simples f(t) = 10 - que é uma linha horizontal no y = 10. Se você varrer a área começando no s = 3, você recebe a seguinte função de área:

Você pode ver que a área varrida para fora 3-4 é 10 porque, arrastando a linha 3-4, você varrer um retângulo com uma largura de 1 e uma altura de 10, que tem uma área de 1 vezes 10, ou 10. Veja a figura abaixo.

Agora, imagine que você arraste a linha em toda a uma taxa de um unidade por segundo. Você começa no x = 3, e de bater quatro a 1 segundo, 5 segundos a 2 6, em 3 segundos, e assim por diante. Quanto área que você está varrendo por segundo? Dez unidades quadrados por segundo porque cada segundo que você varrer outro retângulo 1-por-10. Aviso - isto é enorme - que, porque a largura de cada rectângulo você varrer é 1, a área de cada rectângulo - que é dada pela altura vezes largura - é a mesma que a sua altura, pois os tempos nada é igual a 1 si. Você verá porque este é enorme em um minuto.

Ok, você está sentado? Você atingiu um dos grandes Ah ha! momentos da história da matemática. Recorde-se que é um derivado de uma taxa. Assim, porque a taxa em que a função é a área anterior cresce 10 unidades quadrados por segundo, você pode dizer a sua derivada é igual a 10. Assim, você pode escrever;

Agora aqui é a coisa crítica: Observe que esta taxa ou derivado de 10 é o mesmo que a altura da função original f(t) = 10 porque, como você ir em uma unidade, você varrer um retângulo que é de 1 em 10, que tem uma área de 10, a altura da função.

Isso funciona para qualquer função, não apenas linhas horizontais. A figura a seguir mostra a função g(t) E a sua função área

que varre a área com início às s = 2.

Você pode ver isso

é igual a cerca de 20, porque a área varrida entre 2 e 3 tem uma largura de 1 e a parte superior da curva # 147-retângulo # 148- tem uma altura média de cerca de 20. Assim, durante este intervalo, a taxa de crescimento do

é de cerca de 20 unidades quadrados por segundo. Entre 3 e 4, você varrer cerca de 15 unidades quadrados de área, porque isso é mais ou menos a altura média de g(t) Entre 15 e 4. Assim, durante o segundo número dois - o intervalo de x = 3 a x = 4 - a taxa de crescimento do

é de cerca de 15.

o taxa da área a ser varrida para fora sob uma curva por uma função área num determinado x-valor é igual à altura da curva em que x-valor.

Embora seja um pouco solto - na discussão da figura acima - dizendo coisas como # 147 aproximadamente # 148- isso e # 147 da média # 148- isso, não se preocupe quando você fizer as contas, tudo funciona. A coisa importante a focar é que a taxa de área a ser varrida para fora debaixo de uma curva é a mesma que a altura da curva.