Como medir a área de troca sob uma curva

Você pode usar uma função área para medir a área sob uma curva, assim como as mudanças da área. Por exemplo, digamos que você tem qualquer função de idade, f (t). Imagine que em algum t-valor, chamá-lo s, você desenhar uma linha vertical fixo, como mostrado aqui.

Então você pega uma linha vertical móvel, começando no mesmo ponto, s ( "s" é para iniciando ponto), e arraste-o para a direita. À medida que arrasta a linha, você varrer uma área cada vez maior sob a curva. Esta área é uma função de x, a posição da linha de movimento. Em símbolos, você escreve

Observe que t é a variável de entrada em f (t) ao invés de x Porque x já está tomada - é a variável de entrada em UMA_f (x). o subscrito f dentro UMA_f indica que UMA_f (x) É a função de zona para a curva nomeadamente f ou f (t). o dt é um pouco ao longo do incremento t-eixo - na verdade, um infinitamente pequeno incremento.

Aqui está um exemplo simples para se certificar de que você tem uma alça sobre como uma função área funciona. By the way, não se sinta mal se você encontrar este extremamente difícil de entender - você tem muita companhia. Digamos que você tem uma função simples, f (t) = 10, que é uma linha horizontal no y = 10. Se você varrer a área começando no s = 3, você recebe a seguinte função de área:

Você pode ver que a área varrida para fora 3-4 é 10 porque, arrastando a linha 3-4, você varrer um retângulo com uma largura de 1 e uma altura de 10, que tem uma área de 1 vezes 10, 10 ou, como mostrado aqui.

Assim, UMA_f (4), a área varrida para fora como você acertar 4, é igual a 10. UMA_f (5) é igual a 20, porque quando você arraste a linha para 5, você varrido para fora um retângulo com uma largura de 2 e altura de 10, que tem uma área de 2 vezes 10, ou 20. UMA_f (6) é igual a 30, e assim por diante.

Agora, imagine que você arraste a linha em toda a uma taxa de uma unidade por segundo. Você começa no x = 3, e de bater quatro a 1 segundo, 5 segundos a 2 6, em 3 segundos, e assim por diante. Quanto área que você está varrendo por segundo? Dez unidades quadrados por segundo porque cada segundo que você varrer outro retângulo 1-por-10. Aviso - isto é enorme - que, porque a largura de cada rectângulo você varrer é 1, a área de cada rectângulo - que é dada pela altura vezes largura - é a mesma que a sua altura, pois os tempos nada é igual a 1 si. Você vê por que isso é enorme em um minuto. (By the way, a taxa real você se preocupa aqui não é a área varrida por segundo, mas, ao invés, a área varrida por unidade de mudança na x-eixo. Este exemplo explica isso em termos de por segundo porque é mais fácil pensar em uma taxa de-área varrendo-out desta forma. E uma vez que você está arrastando a linha em toda a um x-unidade de eixo per um segundo, ambas as taxas são as mesmas. Faça sua escolha.)

A derivada de uma função de área é igual à taxa de área a ser varrida para fora. Ok, você está sentado? Você alcançou outro da grande Ah ha! momentos da história da matemática. Lembre-se que é um derivado de uma taxa. Assim, porque a taxa na qual a função de área anterior cresce é de 10 unidades quadrados por segundo, você pode dizer a sua derivada é igual a 10. Assim, você pode escrever

Mais uma vez, isso só lhe diz que a cada aumento de 1 unidade x, UMA_f (A função área) vai até 10. Agora aqui é a coisa crítica: Observe que esta taxa ou derivado de 10 é o mesmo que a altura da função original f (t) = 10 porque, como você ir em uma unidade, você varrer um retângulo que é de 1 em 10, que tem uma área de 10, a altura da função.

E a taxa funciona a 10, independentemente da largura do rectângulo. Imagine que você arraste a linha vertical a partirx = 4 a x = 4.001. A uma taxa de uma unidade por segundo, que vai levá-lo 1/1000^º em segundo lugar, e você vai varrer um retângulo magro, com uma largura de 1/1000, uma altura de 10, e, portanto, uma área de 10 vezes 1/1000, ou 1/100 unidades quadradas. A taxa de área a ser varrida para fora seria, portanto,

o que equivale a 10 unidades quadrados por segundo. Então você vê que, com cada pequeno incremento ao longo da x-eixo, a taxa de área a ser varrida para fora é igual a altura da função.

Isso funciona para qualquer função, não apenas linhas horizontais. Olhe para a função g (t) E a sua função área UMA_g (x) Que varre a área começando no s = 2 na figura a seguir.

Entre x = 3,6 e x = 3,7, UMA_g (x) Cresce pela área do que magro, escuro sombreado "rectângulo" com uma largura de 0,1 e uma altura de cerca de 15. (Como você pode ver, não é realmente um rectangle- é mais perto de um trapézio, mas não é que seja porque seu minúsculo top está curvando-se levemente. Mas, no limite, como a largura fica menor e menor, o "rectângulo" magro se comporta exatamente como um retângulo real.) Então, para repetir, UMA_g (x) Cresce na área daquela escura "rectângulo", que tem uma área extremamente perto de 0,1 vezes 15, ou 1,5. Essa área é varrida para fora em 0.1 segundos, então a taxa de área a ser varrida para fora é

ou 15 unidades quadrados por segundo, a altura da função. Essa idéia é tão importante que merece ser repetida:

A taxa de varrer a área é igual à altura. o taxa da área a ser varrida para fora sob uma curva por uma função área num determinado x-valor é igual à altura da curva em que x-valor.