Usando o Teorema do Valor Médio para Integrais

o Teorema do valor médio para Integrais garante que para cada integral definida, um retângulo com a mesma área e largura existe. Além disso, se sobrepor deste rectângulo no integral definida, a parte superior do rectângulo intersecta a função. Este retângulo, por sinal, é chamado de -Valor médio rectângulo para isso integral definida. Sua existência permite calcular o valor médio da integral definida.

gaba de cálculo dois Valor médio do Teoremas - um para derivados e outra para integrais. Aqui, você vai olhar para o Teorema do Valor Médio para Integrais. Você pode descobrir mais sobre o Teorema do Valor Médio de Derivativos em Calculus For Dummies por Mark Ryan (Wiley).

A melhor maneira de ver como esse teorema funciona é com um exemplo visual:

O primeiro gráfico na figura mostra a região descrita pela integral definida

Esta região tem, obviamente, uma largura de 1, e você pode avaliá-lo facilmente para mostrar que a sua área é

O segundo gráfico na figura mostra um rectângulo com uma largura de 1 e uma área de

Ela deveria vir como nenhuma surpresa que a altura desse retângulo é também

de modo que o topo desta retângulo intercepta a função original.

O fato de que a parte superior da média de valor retângulo intercepta a função é principalmente uma questão de senso comum. Depois de tudo, a altura do rectângulo representa o valor médio alcança a que a função de ao longo de um determinado intervalo. Este valor deve cair em algum lugar entre os valores máximos e mínimos da função naquele intervalo.

Aqui está a declaração formal do Teorema do Valor Médio para Integrais: Se f(x) É uma função contínua no intervalo fechado [uma, b], Então existe uma série c em que o intervalo de tal modo que:

Esta equação pode parecer complicado, mas é basicamente uma reafirmação dessa equação familiar para a área de um retângulo:

Área = Altura # 183- Largura

Em outras palavras, começar com uma integral definida que expressa uma área, e depois desenhar um retângulo de área igual com a mesma largura (b - uma). A altura do rectângulo - f(c) - é tal que a sua borda superior intercepta a função onde x = c.

O valor que f(c) é o valor médio do f(x) Ao longo do intervalo [uma, b]. Pode-se calcular que, reorganizando a equação indicada no teorema:

Por exemplo, aqui está uma figura que ilustra a integral definida

e o seu valor médio rectângulo.

Agora, aqui está como você calcular o valor médio da área sombreada:

Não surpreendentemente, o valor médio desta integral é 30, um valor entre o mínimo da função de 8 e seu máximo de 64.