O Teorema do Valor Médio

Você não precisa do teorema do valor médio para muito, mas é um teorema famoso - um dos dois ou três mais importantes em todos os cálculos - para que você realmente deve aprender. Felizmente, é muito simples.

Aqui está a definição formal do teorema.

o mean valor theorem: E se f é contínua no intervalo fechado [uma, b] E diferenciável no intervalo aberto (a, b), Então existe uma série c dentro (a, b) de tal modo que

Agora para a versão lisa Inglês. Primeiro você precisa cuidar da cópia fina. Os requisitos da teorema de que a função seja contínua e diferenciável apenas garantir que a função é uma função regular, lisa, sem falhas ou cantos afiados ou cúspides. Mas porque apenas algumas funções estranhas têm lacunas ou voltas pontudos, você não muitas vezes têm de se preocupar com esses pontos finos.

Ok, então aqui está o que significa que o teorema. A linha secante pontos de conexão (a, f(uma)) E (b, f(b)) Na figura tem um declive dado pela fórmula:

Note-se que este é o mesmo que o lado direito da equação do teorema do valor médio. O derivado num ponto é a mesma coisa que a inclinação da linha tangente a este ponto, de modo que o teorema apenas diz que deve haver pelo menos um ponto entre uma e b em que a inclinação da linha tangente é o mesmo que o declive da linha secante a partir de uma para b.

Por isso deve ser assim? Aqui está um argumento visual. Imagine que você pegar a linha secante de ligação (uma, f(uma)) E (b, f(b)), E então você deslize para cima, mantendo-a paralela à linha secante originais. você pode ver que os dois pontos de intersecção entre esta linha de deslizamento e a função - os dois pontos que começam em (uma, f(uma)) E (b, f(b)) - Irá gradualmente chegar mais perto e mais perto uns dos outros até que eles se reúnem em (c, f(c))?

Se você aumentar a linha mais longe, você romper com a função inteiramente. Neste último ponto de intersecção, (c, f (c)), A linha deslizante toca a função de um único ponto e, assim, é tangente à função lá, ao ter a mesma inclinação que a linha secante originais.

Aqui está uma espécie completamente diferente de argumento de que deve apelar para o bom senso. Se a função na figura dá quilometragem do carro como uma função de tempo, então o declive da linha secante a partir de uma para b dá a sua velocidade média durante esse intervalo de tempo, porque dividindo a distância percorrida, f(b) - f(uma), Pelo tempo decorrido, b - uma, dá-lhe a velocidade média. O ponto (c, f(c)), Garantida pelo teorema do valor médio, é um ponto onde a sua velocidade instantânea - dado pelo derivado f# 180- (c) - É igual a sua velocidade média.

Agora, imagine que você tomar uma unidade e média de 50 milhas por hora. As garantias teorema do valor médio que você está indo exatamente 50 mph por pelo menos um momento durante a sua unidade. Pense nisso. A sua velocidade média não pode ser 50 mph se você for mais lenta do que 50 todo o caminho ou se você ir mais rápido do que 50 todo o caminho. Assim, a média de 50 mph, ou você vai exatamente 50 para toda a unidade, ou você tem que ir mais lento do que 50 por parte da unidade e mais rápido do que 50 em outros momentos. E se você estiver indo menos de 50 em um ponto e mais de 50 em um ponto posterior (ou vice-versa), você tem que bater exatamente 50 pelo menos uma vez como você acelerar (ou diminuir). Você não pode saltar mais de 50 - como se estivesse indo 49 um momento, em seguida, 51 a próxima - porque velocidades subir em deslizamento -se a escala, não saltar. Então, em algum momento, o velocímetro desliza passado 50 mph, e por pelo menos um instante, você está indo exatamente 50 mph. Isso é tudo o teorema do valor médio diz.