Como medir o volume de um sólido de forma irregular

Pode-se medir o volume de qualquer forma irregular sólida com uma secção transversal que é uma função de x. Em alguns casos, estes sólidos são mais difíceis de descrever do que são para medir. Por exemplo, ter um olhar para este número.

O sólido na figura consiste em duas curvas exponenciais - um descrita pela equação y = e^x e o outro descrito, colocando o mesmo em frente curva do x-eixo - unidos por linhas retas. Os outros lados do sólido são planos limitadas cortando perpendicularmente em uma variedade de indicações.

Observe que quando você corta este sólida e perpendicular com o x-eixo, a sua secção transversal é sempre um triângulo isósceles. Esta é uma forma fácil de medir, de modo que o método de corte funciona bem para medir o volume deste sólido. Aqui estão os passos:

1. Encontrar uma expressão que representa a área de uma secção transversal aleatório do sólido.

   O triângulo na y-eixo e tem uma altura de base de 1 - isto é, e⁰. E o triângulo na linha x = 1 tem uma altura e base de e¹, qual é e. Em geral, a altura e a base do triângulo qualquer secção transversal é e^x.

   Então aqui está como usar a fórmula para a área de um triângulo para encontrar a área de uma secção transversal em termos de x:

   

2. Utilizar esta expressão para construir um integral definida que representa o volume do sólido.

   Agora que você sabe como medir a área de um corte transversal, integrar a adicionar todas as secções transversais da x = 0 a x = 1:

   

3. Avalie esta integral para encontrar o volume.