Taxas relacionadas: a expansão do balão Problema
Digamos que você está enchendo o seu piscina e você sabe o quão rápido a água sai da mangueira, e você quer calcular a velocidade do nível de água da piscina está a aumentar. Você sabe que uma taxa (o quão rápido a água está sendo derramado em) e você deseja determinar uma outra taxa (o quão rápido o nível da água está a subir). Estas taxas são chamados taxas relacionados porque uma depende da outra - o mais rápido a água é vertida na, mais rápido será o nível de água aumenta. Em um típico problema de taxas relacionadas, a taxa ou taxas que você está dado são imutáveis, mas a taxa que você tem que descobrir está mudando com o tempo. Você tem que determinar essa taxa em um ponto específico no tempo.
Por exemplo, digamos que você está soprando um balão a uma taxa de 300 polegadas cúbicas por minuto. Quando o raio do balão é de 3 polegadas, o quão rápido é o raio aumentando?
Desenhar um diagrama de rotular o diagrama com qualquer imutável medições (não há nenhum neste problema extraordinariamente simples) e certifique-se de atribuir uma variável para qualquer coisa no problema que é mudando (A não ser, é claro, é irrelevante para o problema).
O raio na figura está marcada com a variável r. O raio precisa de uma variável porque, como o balão é ser explodido, o raio é mudando. Na figura, 3 está entre parêntesis para enfatizar que o número 3 está não uma medida imutável. O problema pede-lhe para determinar algo quando o raio é de 3 polegadas, mas lembre-se, o raio está mudando constantemente.
Em problemas taxas relacionados, é importante distinguir entre o que está mudando e que é não mudando.
O volume do balão também está mudando, então você precisa de uma variável relativa ao volume, V.Você poderia colocar uma V no seu diagrama para indicar o volume de mudança, mas não há realmente nenhuma maneira fácil de rotular parte do balão com um V como você pode mostrar o raio com um r.
Liste todas as taxas de dados e a taxa que você está convidado para determinar como derivados com relação ao tempo.
Você está bombeando-se o balão a 300 cupolegadas bic por minuto. Isso é uma taxa - é uma mudança de volume (polegadas cúbicas) por mudança no tempo (minutos). Assim,
Você tem que descobrir o quão rápido o raio está a mudar, por isso
Escrever a fórmula que liga as variáveis do problema, V e r.
Aqui está a fórmula para o volume de uma esfera:
Diferenciar sua fórmula em função do tempo, t.
Isso funciona como diferenciação implícita, porque você está diferenciando com relação a t, mas a fórmula é baseada em outra coisa, ou seja, r.
Substitua os valores conhecidos para a taxa e variáveis na equação do Passo 4 e, em seguida, resolva a coisa que você está convidado a determinar.
Certifique-se de diferenciar (Passo 4) antes de conectar a informação dada para as incógnitas (passo 5).
Assim, o raio está a aumentar a uma taxa de cerca de 2,65 polegadas por minuto quando o raio mede 3 polegadas. Pense em todos os balões que você explodido desde a sua infância. Agora você finalmente ter a resposta para a pergunta que tem sido incomodando você todos estes anos.
By the way, se você ligar 5 em R, em vez de 3, você receber uma resposta de cerca de 0,95 polegadas por minuto. Este fato deve concordar com a sua experiência do balão de explodir - quanto maior o balão fica, mais lento ele cresce.