Taxas relacionadas: a calha de Swill Problema
Digamos que você está enchendo o seu piscina e você sabe o quão rápido a água sai da mangueira, e você quer calcular a velocidade do nível de água da piscina está a aumentar. Você sabe que uma taxa (o quão rápido a água está sendo derramado em) e você deseja determinar uma outra taxa (o quão rápido o nível da água está a subir). Estas taxas são chamados taxas relacionados porque uma depende da outra - o mais rápido a água é vertida na, mais rápido será o nível de água aumenta. Em um típico problema de taxas relacionadas, a taxa ou taxas que você está dado são imutáveis, mas a taxa que você tem que descobrir está mudando com o tempo. Você tem que determinar essa taxa em um ponto específico no tempo.
Aqui está um taxas relacionados problema jardim-variedade. A calha está sendo preenchido com sobras. É 10 pés de comprimento, e a sua secção transversal é um triângulo isósceles que tem uma base de 2 pés, e uma altura de 2 pés 6 polegadas (com o vértice na parte inferior, é claro). estar do Swill derramado dentro a uma taxa de 5 pés cúbicos por minuto. Quando a profundidade do swill é 1 pé de 3 polegadas, o quão rápido é o nível swill subindo?
Desenhar um diagrama, rotulando o diagrama com qualquer imutável medições e variáveis atribuir a qualquer mudando coisas.
É importante que a sua figura mostram o imutável dimensões da calha - 2 pés, 2 pés e 6 polegadas e 10 pés - e que você não dá essas dimensões nomes de variáveis como eu de comprimento ou h para a altura. E note que o mudando coisas - a altura (ou profundidade) do refugo e a largura da superfície do swill (que fica mais largo, enquanto o swill fica mais profunda) - deve ter nomes de variáveis, como h em altura e b para a base. (É o chamado base em vez do largura porque é a base da forma de triângulo de cabeça para baixo feita pelo refugo.) O volume do refugo também está mudando, assim você pode chamar isso de V, claro.
Liste todas as taxas de dados e a taxa que você está convidado a descobrir como derivados com relação a Tempo.
Escrever a fórmula que liga as variáveis do problema: V, h, e b.
A fórmula para o volume de um prisma direito (a forma do lavaduras na calha) é
V = (área de base) (altura)
Esta "base" representa a base do prisma (todo o triângulo no final da calha), não na base do triângulo, que é marcado na figura b. Além disso, este "altura" é a altura do prisma (o comprimento da calha), e não a altura h marcado na figura.
A área da base triangular é igual
e a "altura" do prisma é de 10 pés, de modo que a fórmula se torna
Encontrar uma equação que relaciona a variável não desejada, b, a alguma outra variável no problema que você possa fazer uma substituição que deixa você com apenas V e h.
A face triangular do lavaduras na calha é semelhante à face triangular da própria calha, de modo que a base e a altura desses triângulos são proporcionais. Assim,
Tenha em mente que triângulos semelhantes vêm-se muito em problemas taxas relacionadas. Procurá-los sempre que o problema envolve um triângulo, um prisma triangular, ou uma forma de cone.
Agora substituir 0,8h para b em sua fórmula da etapa 3.
Diferenciar esta equação em relação ao t.
Substitua os valores conhecidos para a taxa e variável na equação do Passo 5 e depois resolver.
É isso aí. O nível do swill está crescendo a uma taxa de 1/2 pés por minuto quando o refugo é 1 pés 3 polegadas de profundidade. Cavar!