Como localizar intervalos de concavidade e pontos de inflexão
Você pode localizar concavidade de uma função (em que uma função é côncava para cima ou para baixo) e pontos de inflexão (onde os interruptores concavidade de positivo para negativo ou vice-versa) em algumas etapas simples. O método a seguir mostra como encontrar os intervalos de concavidade e pontos de inflexão de
Encontre a segunda derivada da f.
Defina a segunda derivada igual a zero e resolver.
Determinar se a segunda derivada é indefinido para qualquer x-valores.
Passos 2 e 3 dar o que você poderia chamar # 147-segunda derivada números críticos # 148- de f porque eles são análogos aos números críticos de f que você encontrar usando a primeira derivada. Mas esse conjunto de números não tem nome especial. Em qualquer caso, a coisa importante a saber é que esta lista é composta de os zeros de f# 8242- # 8242- mais qualquer x-valores onde f# 8242- # 8242- é indefinido.
Traçar estes números em uma linha número e testar as regiões com segundo derivado.
Use -2, -1, 1, e 2, tal como números de teste.
Porque -2 está na esquerda, a maioria região na linha de números a seguir, e porque a segunda derivada em -2 iguais negativo 240, que a região recebe um sinal negativo na figura abaixo, e assim por diante para os outros três regiões.
Um segundo gráfico sinal derivado.Um sinal positivo neste gráfico sinal diz-lhe que a função é côncava em que interval- um meio de sinais negativos concavidade para baixo. A função tem um ponto de inflexão (geralmente) em qualquer x-valor, onde os sinais de mudar de positivo para negativo ou vice-versa.
(Se você tiver um problema em que os sinais são alternadas em um número onde a segunda derivada não está definida, você tem que verificar mais uma coisa antes de concluir que há um ponto de inflexão lá. Existe um ponto de inflexão em um determinado x-valor somente se houver uma linha tangente à função naquele número. Este é o caso onde quer que exista o primeiro derivado ou onde há uma tangente vertical.)
Ligue estes três x-valores em f para se obter os valores da função dos três pontos de inflexão.
Um gráfico que mostra os pontos de inflexão e intervalos de concavidade.
A raiz quadrada de dois é igual a cerca de 1,4, por isso há pontos de inflexão em cerca de (-1,4, 39,6), (0, 0), e cerca de (1,4, -39,6).