Como analisar a posição, velocidade e aceleração com Diferenciação

Toda vez que você entrar em seu carro, você testemunha diferenciação em primeira mão. Sua velocidade é a primeira derivada da sua posição. E quando você pisa no acelerador ou no freio - acelerando ou desacelerando - você experimentar uma segunda derivada.

Se uma função dá a posição de algo como uma função de tempo, o primeiro derivado dá a sua velocidade, e o segundo derivado dá a sua aceleração. Assim, você diferenciar posição para obter a velocidade, e você diferenciar a velocidade para obter a aceleração.

Aqui está um exemplo. Um yo-yo se move para cima e para baixo. A sua altura acima do solo, como uma função do tempo, é dada pela função

Onde t é expresso em segundos e H(t) É em polegadas. em t = 0, é 30 polegadas acima do solo, e depois de 4 segundos, é a altura de 18 polegadas.

Velocidade,V(t) É o derivado de posição (altura, neste problema), e aceleração, UMA(t), É a derivada da velocidade. Assim

Velocidade contra velocidade. Seus amigos não vai reclamar - ou mesmo notar - se você usar as palavras "velocidade" e "velocidade" de forma intercambiável, mas seu matemático amigável vontade reclamar. Aqui está a diferença.

Para a função de velocidade na figura acima, para cimamovimento é definido como um positivo velocidade e para baixo velocidade é definida como um negativo velocidade - esta é a velocidade de forma padrão s tratados na maioria dos problemas de cálculo e física. (Se o movimento é horizontal, indo para a direita é uma velocidade positivo e indo da esquerda é uma velocidade negativa.)

Velocidade, Por outro lado, é sempre positiva (ou nulo). Se um carro passa a 50 mph, por exemplo, você diz a sua velocidade é de 50, e você quer dizer positivo 50, independentemente de se ele vai para a direita ou a esquerda. Para a velocidade, o matters- direção de velocidade isso não acontece. Na vida cotidiana, a velocidade é uma ideia simples do que a velocidade porque concorda com o senso comum. Mas em cálculo, a velocidade é realmente a ideia mais complicado, porque ele não se encaixa muito bem no esquema de três função mostrada na figura acima.

Você tem que manter a distinção de velocidade velocidade em mente quando se analisa a velocidade e aceleração. Por exemplo, se um objecto está indo para baixo (ou para a esquerda) cada vez mais rapidamente, a sua velocidade aumenta, mas a sua velocidade é decrescente porque a sua velocidade está se tornando uma negativa maior (e negativos maiores são números menores). Isso parece estranho, mas essa é a forma como ele funciona. E aqui está outra coisa estranha: A aceleração é definida como a taxa de variação da velocidade, não de velocidade. Assim, se um objeto está a abrandar, indo no sentido descendente, e, portanto, tem um aumentando velocidade - porque a velocidade está se tornando um negativo menor - o objeto tem um positivo aceleração. Em Inglês todos os dias, você diria que o objeto está em desaceleração (desaceleração), mas na aula de cálculo, você diz que o objeto tem uma velocidade negativa e uma aceleração positiva. (By the way, "desaceleração" não é exatamente um termo técnico, então você provavelmente deve evitá-lo na aula de cálculo É melhor usar o seguinte vocabulário:. "Aceleração positiva", "aceleração negativa", "acelerando", e "abrandar".

Máximo e mínimo alturado H(t) Ocorrem no extremo local que você vê na figura acima. Para localizá-los, defina o derivado de H(t) - isso é V(t) - Igual a zero e resolver.

Esses dois números são os zeros de V(t) e o t-coordena - que é Tempo-coordena - do máximo e mínimo de H(t), Que você pode ver na segunda figura. Em outras palavras, estes são os momentos em que o yo-yo atinge sua altura máxima e mínima. Conecte esses números em H(t) Para obtenção das alturas:

H (0,47) asymp- 31,1

H (3,53) asymp- 16,9

Assim, o ioiô fica tão alto como cerca de 31.1 polegadas acima do solo em t asymp- 0,47 segundos e tão baixo como cerca de 16.9 polegadas na t asymp- 3,53 segundos.

deslocamento total é definido como a posição final menos a posição inicial. Então, porque o yo-yo começa a uma altura de 30 e termina a uma altura de 18,

Tdeslocamento otal = 18 - 30 = -12.

Este é negativo porque o movimento líquido é para baixo.

Velocidade médiaé dada pelo deslocamento total dividido pelo tempo decorrido. Assim,

Esta resposta negativa indica que o yo-yo é, em média, indo baixa 3 polegadas por segundo.

velocidade máxima e mínimado io-io durante o intervalo de 0 a 4 segundos são determinados com o derivado de V(t): Defina o derivado de V(t) - isso é UMA(t) - Igual a zero e resolver:

Agora, avaliar V(t) No número crítico, 2, e em pontos finais do intervalo de 0, e 4:

Assim, o yo-yo tem uma velocidade máxima de 5 polegadas por segundo duas vezes - tanto no início e no final do intervalo. Ele atinge uma velocidade mínima de -7 polegadas por segundo em t = 2 segundos.

distância total percorridaé determinada pela soma das distâncias percorridas em cada perna da viagem de o yo-yo: a perna para cima, a perna para baixo, ea segunda na perna.

Em primeiro lugar, o ioiô sobe a partir de uma altura de 30 polegadas a cerca de 31,1 polegadas (onde o primeiro turn-around ponto é). Isso é uma distância de cerca de 1,1 polegadas. Em seguida, ele vai para baixo de cerca de 31,1 a cerca de 16,9 (a altura do segundo turn-around point). Isso é uma distância de 31.1 menos 16,9, ou cerca de 14,2 polegadas. Finalmente, o ioiô sobe novamente de cerca de 16,9 polegadas a sua altura final de 18 polegadas. Isso é mais 1,1 polegadas. Adicione estes três distâncias para obter a distância total percorrida: ~ 1.1 + ~ 14,2 + ~ 1.1 asymp- 16,4 polegadas.

Velocidade médiaé dado pela distância total percorrida dividida pelo tempo decorrido. Assim,

Velocidade máxima e mínima. Você previamente determinada velocidade máxima do yo-yo (5 polegadas por segundo) E a sua velocidade mínima (-7 polegadas por segundo). A velocidade de -7 é uma velocidade de 7, de modo que é a velocidade máxima do yo-yo.A sua velocidade mínimo de zero ocorre nos dois pontos de rotação.

Para uma contínua velocidade função, o mínimo velocidade é igual a zero sempre que as velocidades máxima e mínima são de sinais opostos ou quando um deles é zero. Quando as velocidades máxima e mínima são ambos positivos ou ambos negativo, então o mínimo velocidade é o menor dos valores absolutos das velocidades máxima e mínima. Em todos os casos, o máximo a velocidade é a maiordos valores absolutos das velocidades máxima e mínima. É que um bocado ou o quê?

aceleração máxima e mínima Pode parecer inútil quando você pode simplesmente olhar para o gráfico de UMA(t) E ver que a aceleração mínima de -12 ocorre na extremidade esquerda quando t = 0 e que a aceleração, em seguida, vai até o seu máximo de 12 na extremidade direita quando t = 4. Mas não é inconcebível que você vai ter um daqueles professores de cálculo extremamente exigentes, que tem a coragem de exigir que você realmente fazer as contas e mostrar o seu trabalho - para morder a bala e fazê-lo.

Para encontrar min da aceleração e máxima de t = 0 a t = 4, definir o derivado de UMA(t) Igual a zero e resolver:

Esta equação, é claro, não tem soluções, para que não haja números críticos e, assim, a extrema absoluto deve ocorrer em pontos de extremidade do intervalo, 0 e 4.

Você chegar às respostas que você já sabia.

Note-se que quando a aceleração é negativo - no intervalo [0, 2) - o que significa que a velocidade é decrescente. Quando a aceleração é positivo - no intervalo (2, 4] - a velocidade é aumentando.

Aceleração e desaceleração. Descobrir quando o yo-yo está se acelerando e desacelerando é provavelmente mais interessante e descritivo de seu movimento do que a informação acima. Um objeto está acelerando (o que chamamos de "aceleração" no discurso diário) sempre que a velocidade e a aceleração do cálculo são ambos positivos ou ambos negativos. E um objeto está a abrandar (o que chamamos de "desaceleração") quando a velocidade ea aceleração de cálculo são de sinais opostos.

Olhe para todos os três gráficos na figura acima novamente. A partir de t = 0 a cerca t = 0,47 (quando a velocidade é zero), a velocidade é positiva e a aceleração é negativa, de modo que o yo-yo está a abrandar cidade (até atingir sua altura máxima). Quando t = 0, a desaceleração é maior (12 polegadas por segundo por segundo- o gráfico mostra uma aceleração negativo 12, mas aqui estamos chamando uma desaceleração de modo que o 12 é positivo). de cerca de t = 0,47 a t = 2, ambos velocidade e aceleração são negativas, de modo que o yo-yo está a abrandar novamente (até que encoste na altura mais baixa). Finalmente, a partir de cerca de t = 3,53 para t = 4, ambos velocidade e aceleração são positivos, então o ioiô está acelerando novamente. O yo-yo atinge seu maior aceleração, de 12 de polegadas por segundo por segundo em t = 4 segundos.

Juntando tudo. Observe as seguintes conexões entre os três gráficos na figura acima. o negativo secção do gráfico de UMA(t) - a partir de t = 0 a t = 2 - corresponde a um decrescente secção do gráfico de V(t) E um concavidade para baixo secção do gráfico H(t). o positivo intervalo do gráfico de UMA(t)- a partir de t = 2 a t = 4 - corresponde a um aumentando intervalo no gráfico de V(t) E um concavidade para cima intervalo no gráfico H(t). Quando t = 2 segundos, UMA(t) Tem um zero, V(t) tem um mínimo local, e H(t) Tem um ponto de inflexão.