Como determinar máxima e velocidades mínimas de objetos em movimento

Um dos usos mais práticos de diferenciação é encontrar os valores máximos ou mínimos de uma função no mundo real, por exemplo, a velocidade mínima de um objeto em movimento e máximo.

Você pode pensar em velocity como a versão mais técnica velocidade.

Aqui está um exemplo. Um yo-yo se move para cima e para baixo. A sua altura acima do solo, como uma função do tempo, é dada pela função H(t) = t³ - 6t² + 5t + 30, onde t é expresso em segundos e H(t) É em polegadas. em t = 0, o io-io é de 30 polegadas acima do chão, e depois de 4 segundos, é a uma altura de 18 polegadas, conforme ilustrado nesta figura.

Para determinar a distância total do yo-yo viaja, você precisa somar as distâncias percorridas em cada perna da viagem de o yo-yo: a perna para cima, a perna para baixo, ea segunda na perna.

Em primeiro lugar, o ioiô sobe a partir de uma altura de 30 polegadas a cerca de 31,1 polegadas (onde o primeiro turn-around ponto é). Isso é uma distância de cerca de 1,1 polegadas. Em seguida, ele vai para baixo de cerca de 31,1 a cerca de 16,9 (a altura do segundo turn-around point). Isso é uma distância de 31.1 menos 16,9, ou cerca de 14,2 polegadas. Finalmente, o ioiô sobe novamente de cerca de 16,9 polegadas a sua altura final de 18 polegadas. Isso é mais 1,1 polegadas. Adicione estes três distâncias para obter a distância total percorrida:

Nota: Compare esta resposta ao deslocamento total de # 8201- -12, que você começa a partir subtraindo a altura final do yo-yo, de 18 polegadas, de sua altura inicial de 30 polegadas. O deslocamento é negativo porque o movimento líquido é baixo. E o valor positivo do deslocamento (ou seja, 12) é menor que a distância percorrida de 16,4 porque, com o deslocamento das pernas para cima da viagem de o yo-yo cancelar parte da distância perna para baixo. Confira a matemática:

velocidade média do yo-yo é dada pela distância total percorrida dividida pelo tempo decorrido. Assim,

Digamos que você determinar que a velocidade máxima do yo-yo é de 5 polegadas por segundo, e sua velocidade mínima é de -7 polegadas por segundo. A velocidade de -7 é uma velocidade de 7, de modo que é a velocidade máxima do yo-yo. A sua velocidade mínimo de zero ocorre nos dois pontos de rotação.

Uma boa maneira de analisar a velocidade máxima e mínima é a de considerar a função de velocidade e seu gráfico. (Ou, se você é um glutão de castigo, veja o seguinte patranhas.) A velocidade é igual ao valor absoluto de velocidade.

Velocidade, V(t), É o derivado de posição (altura, em este problema). Assim:

Assim, para o problema yo-yo, a função de velocidade,

Confira o gráfico de S(t) Na figura a seguir.

Olhando para este gráfico, é fácil ver que a velocidade máxima do yo-yo ocorre em t 2 =

e que a velocidade mínima é igual a zero para os dois x-intercepta.

Mínimo e máximo de velocidade: Para uma contínua velocidade função, o velocidade mínima é igual a zero sempre que as velocidades máxima e mínima são de sinais opostos ou quando um deles é zero. Quando as velocidades máxima e mínima são ambos positivos ou ambos negativo, então o mínimo a velocidade é a menor dos valores absolutos das velocidades máxima e mínima. Em todos os casos, o máximo a velocidade é a maior dos valores absolutos das velocidades máxima e mínima. É que um bocado ou o quê?