Como usar Diferenciação para calcular o volume máximo de uma caixa
Uma das utilizações mais práticas de diferenciação é encontrar o valor máximo ou mínimo de uma função do mundo real. No exemplo a seguir, calcula o volume máximo de uma caixa que não tenha nenhuma parte superior e que é para ser fabricado a partir de uma peça de 30 polegadas-por-30 polegadas de papelão cortando e dobrando-a, como mostrado na figura.
Quais as dimensões produzir uma caixa que tem o volume máximo? Matemática muitas vezes parece abstrato e pouco prático, mas aqui está um problema prático honesto-a-bondade. Se um fabricante pode vender caixas maiores para obter mais dinheiro, e ele ou ela está fazendo um milhão de caixas, é melhor você acreditar que ele ou ela vai querer a resposta exata a esta pergunta:
Exprime-se o coisa que quer maximizada, o volume, como uma função do desconhecido, a altura da caixa (que é o mesmo que o comprimento do corte).
Determinar o domínio de sua função.
A altura não pode ser negativo ou maior do que 15 polegadas (o papelão é de apenas 30 polegadas de largura, então metade do que é a altura máxima). valores Assim, sensatas para h são 0 # 8804- h # 8804- 15.
Encontre os números críticos de V(h), No intervalo aberto (0, 15), definindo sua derivada igual a zero e resolvendo. E não se esqueça de verificar se há números onde a derivada não está definida.
Porque 15 não está no intervalo aberto (0, 15), não se qualifica como um número crítico. E porque este derivativo é definida para todos os valores de entrada, não há números críticos adicionais. Assim, 5 é o único número crítico.
Avaliar a função do número crítico, 5, e nos extremos do intervalo, 0 e 15, para localizar a função do máximo.
o extremum (Cavar essa palavra extravagante para máximo ou mínimo) Que você está procurando não costuma ocorrer em um ponto final, mas pode - por isso não deixam de avaliar a função em dois pontos finais do intervalo.
Você tem sua resposta: uma altura de 5 polegadas produz a caixa com volume máximo (2000 polegadas cúbicas). Uma vez que o comprimento e a largura igual 30-2h, uma altura de 5 polegadas dá um comprimento e largura de 30-2 # 183- 5, ou 20 polegadas. Assim, as dimensões da caixa desejada são 5 polegadas por 20 polegadas por 20 polegadas.