Como usar Diferenciação para calcular a área máxima de um Corral
Encontrando-se o valor máximo ou mínimo de uma função real é uma das utilizações mais práticas de diferenciação. Por exemplo, você pode precisar de encontrar a superfície máxima de um curral, dado um determinado período de esgrima.
Dizer que um fazendeiro pode pagar 300 pés de cerca de construir um curral que está dividido em dois retângulos iguais. Quais as dimensões irá maximizar a área do curral? O fazendeiro quer dar a seus animais tanto espaço quanto possível, usando o comprimento de cercas que ele pode pagar. Como todos os empresários, ele quer a maioria de estrondo para seu fanfarrão:
Expressar a coisa que você quer maximizada, a área, em função das duas incógnitas, x e y.
UMA = eu # 183- W
= (2x) (y)
Uma vez que a área é uma função de duas variáveis, Passo 1 tem dois sub-passos adicionais.
Use a informação dada a relacionar as duas incógnitas para o outro.
A esgrima é usado para sete seções, assim,
300 = x + x + x + x + y + y + y
300 = 4x + 3y
Resolver esta equação para y, e conecte o resultado na y na equação da Etapa 1. Isto dá-lhe o que você precisa - uma função de uma variável.
Determinar o domínio da função.
Você não pode ter um comprimento negativo de cerca, de modo x não pode ser negativo, eo mais x pode ser é 300 dividido por 4, ou 75. Assim, o domínio é 0 # 8804- x # 8804- 75.
Encontre os números críticos de UMA(x), No intervalo aberto (0, 75), definindo sua derivada igual a zero e resolvendo.
Porque UMA# 8242- é definida para todos x-valores, 37,5 é o único número crítico.
Avaliar a função no número crítico, 37,5, e nos extremos do intervalo, 0 e 75.
Tenha em mente que avaliar uma função nos pontos finais de um intervalo é um passo normal em encontrar um extremo absoluto no intervalo. No entanto, você poderia ter ignorado este passo aqui você tinha notado que UMA(x) É uma parábola de cabeça para baixo e que, por conseguinte, o seu pico deve ser maior do que qualquer extremidade.
O valor máximo no intervalo é 3750, e, assim, uma x-valor de 37,5 pés maximiza a área do curral. O comprimento é de 2x, ou 75 pés. A largura é y, o que equivale
Obstrução em 37,5 dá-lhe
ou 50 pés. Então, o fazendeiro vai construir um de 75 pés por 50 pés curral com uma área de 3750 pés quadrados.
Esta é uma situação do mundo real onde vale a pena fazer a matemática. Tinha o fazendeiro não resolveu este problema, ele provavelmente teria construído um inferior curral, menor. Muitas pessoas sabem que uma praça, muitas vezes maximiza a área (este seria o caso, por exemplo, em um problema semelhante curral onde não há vedação divisória no meio do curral). Então, o fazendeiro pode ter pensado que ele deveria construir um quadrado curral ou, talvez, um curral retangular composta de dois quadrados. Estes dois currais teria áreas totais de, respectivamente, 3600 pés quadrados e 3673 pés quadrados. Concedido, a área perdida não é substancial em ambos os casos, mas por grampear seus animais até um pouco sem motivo? E, em outros problemas, não para encontrar um máximo exata ou mínimo pode ter muito mais conseqüências significativas.