Como calcular instantâneo de velocidade com limites
Você pode calcular a velocidade instantânea de um objeto usando limites. Digamos que você e seu gato-loving cálculo estão pendurando para fora um dia, e você decide deixar cair uma bola para fora de sua janela do segundo andar. Aqui está a fórmula que lhe diz o quão longe a bola caiu após um determinado número de segundos (ignorando a resistência do ar):
(Onde h é a altura que a bola tenha caído, em pés, e t é a quantidade de tempo desde que a bola foi deixado cair, em segundos).
Se você conectar um em º é de 16 para que a bola cai 16 pés durante o primeiro segundo.
Agora, e se você queria para determinar a velocidade da bola exatamente 1 segundo depois que você deixou cair? Você pode começar por sacando este ol fórmula fiel ':
usando o taxa, ou velocidade fórmula, você pode facilmente descobrir a velocidade média da bola durante o segundo segundo de sua queda. Porque caiu 16 pés depois de 1 segundo e um total de 64 pés após 2 segundos, ele caiu 64-16, ou 48 pés, de t = 1 segundo para t = 2 segundos.
A fórmula a seguir dá-lhe a velocidade média:
Mas esta não é a resposta que você quer porque a bola cai mais e mais rápido, uma vez que cai, e você quer saber a sua velocidade exatamente 1 segundo depois de soltá-lo. A bola acelera entre 1 e 2 segundos, de modo que este média velocidade de 48 pés por segundo durante o 2º segunda é certo que será mais rápido do que a bola de instantâneo velocidade no final da sua primeira segundo.
Para uma melhor aproximação, calcule a velocidade média entre t = 1 segundo e t = 1,5 segundos.
Sua velocidade média é assim:
Se você continuar este processo para tempos decorridos de um quarto de segundo, um décimo de segundo, em seguida, um centésimo, um milésimo e um décimo de milésimo de segundo, você chega na lista de velocidades médias apresentadas nesta tabela.
| t segundo | 2 | 1 1/2 | 1 1/4 | 1 1/10 | 1 1/100 | 1 1 / 1.000 | 1 1 / 10.000 |
| Ave. velocidade de 1 seg. a T segundos. | 48 | 40 | 36 | 33,6 | 32.16 | 32,016 | 32,0016 |
Como t fica cada vez mais perto a 1 segundo, as velocidades médias parecem ficar cada vez mais perto de 32 pés por segundo.
Aqui está a fórmula que você pode usar para gerar os números na tabela. Dá-lhe a velocidade média entre 1 segundo e t segundos:
A figura a seguir mostra um gráfico desta equação.
Este gráfico é idêntica para o gráfico de linha y= 16t + 16, excepto para o orifício na (1, 32).
Há um buraco, porque se você ligá-1 em t na função de média velocidade, você começa
que é indefinido. E por que você conseguiu 0/0? Porque você está tentando determinar uma velocidade média - o que equivale distância total dividido por tempo gasto - a partir de t = 1 a t = 1.But de t= 1 a t = 1 é, evidentemente, não tempo e # 147 durante # 148- Neste momento, a bola não viaja qualquer distância, para que você obtenha
Obviamente há um problema aqui. Segure-se em seu chapéu, você chegou a um dos grandes # 147 Ah ha! # 148- momentos no desenvolvimento do cálculo diferencial.
velocidade instantânea define-se como o limite da função de média velocidade, como o tempo decorrido se aproxima de zero.
O fato de que o tempo decorrido nunca chega a zero, não afeta a precisão da resposta a este problema limite - a resposta é exatamente 32 pés por segundo, a altura do furo na figura. Trinta e dois é a resposta porque, como x fica cada vez mais perto de 1, y fica cada vez mais perto 32. O que é notável sobre limites é que eles permitem que você calcule a velocidade precisa, instantânea em um único ponto no tempo, tomando o limite de uma função que é baseada em um decorrido tempo, um período entre dois Os pontos de tempo.