Como Gráficos de Derivados diferem de gráficos de funções
Quando você começar a olhar para gráficos de derivados, você pode facilmente cair em pensar neles como funções regulares - mas eles não são. Felizmente, você pode aprender muito sobre as funções e seus derivados, olhando para o seu lado a lado gráficos e comparando as suas características importantes. Por exemplo, assumir a função, f (x) = 3x5 - 20x3.
Você está indo agora para viajar ao longo f da esquerda para a direita, parando para observar os seus pontos de interesse e também observando o que está acontecendo com o gráfico de
nos mesmos pontos. Mas primeiro, veja o seguinte aviso (longo).
Esta não é a função! Como você olhar para o gráfico de
na figura, ou o gráfico de qualquer outro derivado, você pode precisar de tapa-se na cara cada minuto ou assim para lembrar-se de que "Este é o derivado Eu estou olhando, não a função! "É fácil confundir gráficos de derivados de funções regulares. Você pode, por exemplo, olhar para um intervalo que vai-se no gráfico de um derivado e erroneamente concluir que a função original deve também estar a subir no mesmo intervalo - um erro compreensível.
Você sabe que a primeira derivada é a mesma coisa que encosta. Então, quando você ver o gráfico da primeira derivada indo para cima, você pode pensar: "Ah, a primeira derivada (a inclinação) vai para cima, e quando a inclinação sobe isso é como subir uma colina, de modo que a função original deve ser Aumentar." Isso parece razoável, porque, folgadamente falando, você pode descrever a parte da frente de uma colina como uma pista que vai para cima, aumentando. Mas matematicamente falando, o lado da frente de uma colina tem uma positivo declive, não necessariamente um aumentando declive. Assim, em que uma função está a aumentar, o gráfico do seu derivado será positivo, mas esse gráfico derivado pode estar indo para cima ou para baixo.
Digamos que você está subindo uma colina. Ao se aproximar do topo da colina, você ainda vai acima, mas, em geral, o declive (A inclinação) vai baixa. Ele pode ser de 3, depois 2, e depois 1, e, em seguida, no topo da colina, a inclinação é zero. Portanto, a inclinação está ficando menor ou decrescente, mesmo quando você está subindo a colina ou aumentando. Numa tal forma de intervalo, o gráfico da função é aumentando, mas o gráfico do seu derivado é decrescente. Percebido?
Ok, vamos voltar para o f e o seu derivado na figura. Começando à esquerda e viajar para a direita, f aumenta até o máximo local em (-2, 64). Vai-se, pelo que a sua inclinação é positivo, mas f está ficando cada vez menos íngreme que a sua inclinação é decrescente - a inclinação diminui até tornar-se zero no pico. Isto corresponde ao gráfico de
(Declive) que é positivo (Porque é acima da x-eixo), mas decrescente como ele vai para baixo para o ponto (2, 0). Vamos resumir toda a sua viagem ao longo f e
com a seguinte lista de regras.
A aumentando intervalo de uma função corresponde a um intervalo no gráfico de um seu derivado que é positivo (ou zero para um único ponto, se a função tem um ponto de inflexão horizontal). Em outras palavras, o aumento do intervalo de uma função corresponde a uma parte do gráfico derivativo que está acima da x-eixo (ou que toca o eixo para um ponto único no caso de um ponto de inflexão horizontal). Ver intervalos A e F na figura.
Um local max no gráfico de uma função (como (-2, 64) corresponde a um zero (a x-intercepto) em um intervalo do gráfico de um seu derivado que atravessa a x-eixo vai baixa (Como em (2, 0)).
Em um gráfico derivado, você'tenho uma m-eixo. Quando você está olhando para vários pontos no gráfico derivado, não se esqueça que o y-de coordenadas de um ponto, tal como (2, 0), num gráfico de uma derivada de primeira informa o declive da função original, e não a sua altura. Pense no y-eixo no primeiro gráfico como o derivado declive-ou o eixo m-de cada eixo que você poderia pensar de pontos gerais sobre o primeiro gráfico derivado como tendo coordenadas (x, m).
UMA decrescente intervalo de uma função corresponde a uma negativo intervalo no gráfico da derivada (ou zero para um único ponto, se a função tem um ponto de inflexão horizontal). O intervalo negativo no gráfico derivado está abaixo do x-eixo (ou, no caso de um ponto de inflexão horizontal, o gráfico derivado toca o x-eixo em um único ponto). Veja intervalos B, C, D e E na figura (mas considerá-los como uma única seção), onde f vai para baixo todo o caminho a partir do máximo local em (-2, 64) à min local em (2, -64) e onde
é negativa entre a (-2, 0) e (2, 0), excepto por no ponto (0, 0) sobre
o que corresponde ao ponto de inflexão na horizontal f.
Um local min no gráfico de uma função corresponde a um zero (um x-intercepto) em um intervalo do gráfico de um seu derivado que atravessa a x-eixo indo para cima (como em (2, 0)).
Agora vamos dar uma segunda viagem ao longo f considerar seus intervalos de concavidade e seus pontos de inflexão. Em primeiro lugar, considerar intervalos de A e B na figura. O gráfico de f é baixo côncavo - o que significa a mesma coisa que um decrescente slope - até chegar ao ponto de inflexão em cerca de (-1,4, 39,6).
Assim, o gráfico de
diminui até chegar ao fundo em cerca de (-1,4, -60). Estas coordenadas dizer que o ponto de inflexão em -1.4 na f tem uma inclinação de -60. Note-se que a inflexão apontam em f em (-1,4, 39,6) é o ponto de maior inclinação em que a função de estiramento, mas tem o menor inclinação, porque a sua inclinação é a maior negativo que a inclinação em qualquer outro ponto nas proximidades.
Entre (-1,4, 39,6) e o próximo ponto de inflexão em (0, 0), f é côncava para cima, o que significa a mesma coisa que um aumentando declive. Assim, o gráfico da
aumenta entre cerca de -1,4 para onde se atinge um máximo local em (0, 0). Ver intervalo de C na figura. Vamos fazer uma pausa esta viagem para mais algumas regras.
Um côncava baixa intervalo no gráfico de uma função corresponde a uma decrescente intervalo no gráfico de um seu derivado (intervalos A, B, e D na figura). E um côncava acima intervalo na função corresponde a uma aumentando O derivado de intervalo em intervalos (C, E, e F).
A ponto de inflexão em uma função (com exceção de um ponto de inflexão vertical em que o derivado é indefinido) corresponde a um extremo local no gráfico de um seu derivado. Um ponto de inflexão mínimo inclinação (na sua vizinhança) corresponde a um local, min no derivado graph- um ponto de inflexão de máximo inclinação (na sua vizinhança) corresponde a um local, max no gráfico derivado.
Retomando a sua viagem, depois de (0, 0), f é côncava para baixo até que o ponto de inflexão a cerca de (-1,4, 39,6) - esta corresponde à secção decrescente de
a partir de (0, 0) para a sua min a (1.4, -60) (D intervalo na figura). Finalmente, f é côncava-se o resto do caminho, o que corresponde à secção crescente de
começando em (1.4, -60) (intervalos E e F na figura).
Bem, que praticamente leva-o até o fim da estrada. Indo e voltando entre os gráficos de uma função e sua derivada pode ser muito tentando em primeiro lugar. Se a sua cabeça começa a girar, fazer uma pausa e voltar a essas coisas mais tarde.
Agora, olhe novamente para o gráfico da derivada,
na figura, e também o gráfico de sinal
na figura a seguir.
Isso gráfico sinal, porque é um segundo gráfico sinal derivado, tem exatamente (bem, quase exatamente) a mesma relação com o gráfico de
como um derivado primeiros ursos gráfico sinal para o gráfico de uma função regular. Em outras palavras, negativo intervalos no gráfico sinal na figura
mostrar onde o gráfico de
é decrescente- positivo intervalos no gráfico sinal
mostrar onde
é aumentando. E os pontos onde os sinais mudar de positivo para negativo ou vice-versa
mostrar onde
tem extremos locais.