Como diferenciar Implicitamente

Às vezes, você está convidado para diferenciar uma equação que não está resolvido para y, gostar y⁵ +3x² = sin x - 4y³. Esta equação define y implicitamente como a função de x, e você não pode escrevê-lo como uma função explícita, porque não pode ser resolvida para y. Para tal problema, você precisa diferenciação implícita. Quando diferenciar implicitamente, todas as regras de derivativos funcionam da mesma forma, com uma exceção: quando você diferenciar um termo com um y nele, você pode usar a regra da cadeia com uma pequena torção.

Por exemplo, você pode usar a regra da cadeia de diferenciar algo como pecado (x³) Como segue: começar com a função fora, pecado, e diferenciar que, ignorando o que está dentro - neste caso, x³. Para certificar-se você ignorar o interior, substituir temporariamente a função dentro com a palavra material. Neste exemplo, o derivado de seno é co-seno, de modo que o derivado de sin (material) é

Finaliza o problema de encontrar o derivado do material,x³, que é 3x², e, em seguida, fazendo as substituições para dar-lhe

Com diferenciação implícita, uma y funciona como a palavra material. Assim, porque

A diferença é que enquanto a palavra material está tomando temporariamente o lugar de algum conhecido função de x (x³ neste exemplo), y é algum desconhecido função de x (Você não sabe o que o y é igual em termos de x). E porque você não sabe o que y é igual, o y e a

Mas o conceito é exatamente o mesmo, e você tratar y assim como o material. Você simplesmente não pode fazer a troca de volta para xs no final do problema como você pode com um problema comum regra da cadeia.

Aqui está um exemplo. Diferenciar y⁵ +3x² = sin x - 4y³:

1. Diferenciar cada prazo sobre ambos os lados da equação.

   y⁵ +3x² = sin x - 4y³

   Para o primeiro e quarto termos, você usar a regra de poder e, porque estes termos contêm ys, você também usar a regra da cadeia. Para o segundo mandato, você usar a regra de energia regular. E para o terceiro mandato, você usar a regra sine regular.

   

2. Colete todos os termos contendo um

   

   no lado esquerdo da equação e todos os outros termos no lado direito.

   

3. fatorar

   

4. Divida a resposta final.

   

Note-se que este derivado é expresso em termos de x e y em vez de apenas x. Então, se você quiser avaliar a derivada para obter a inclinação em um determinado ponto, você precisa ter valores para ambos x e y para ligar para o derivado.

Observe também que, em muitos livros didáticos, o símbolo

é utilizado em vez de

em todas as etapas de soluções como o mostrado aqui. Você pode achar

mais fácil e menos oneroso para trabalhar. Mas

tem a vantagem de lembrar que você está encontrando o derivado de y em relação a x. De qualquer forma é bom. Faça sua escolha.