Regras Básicas de Cálculo para Economia Gerencial

Aqui está uma breve reciclagem para algumas das regras importantes de diferenciação cálculo de economia gerencial. Embora o cálculo não é necessário, faz as coisas mais fáceis.

regra função constante

Se a variável y é igual a uma constante uma, um seu derivado com respeito à x é 0, ou se

Por exemplo,

regra função de potência

A função de potência indica que a variável x é elevada a uma potência constante k.

O derivado de y em relação a x é igual a k multiplicado por x elevado para a k-1 poder, ou

Por exemplo,

A regra função de potência é extremamente poderoso! Você pode usá-lo com uma variedade de expoentes. Por exemplo,

pode ser reescrita como

Tenha cuidado com este último derivado. Quando uma variável com um expoente aparece no denominador, como x³ na equação anterior, a variável pode ser transferida para o numerador, mas torna-se o expoente negativo. Então, 4 / X³ torna-se 4x^-3. Então, quando você toma a derivada, certifique-se de subtrair 1 de -3 para obter -4.

Como outro exemplo, considere

pode ser escrita como

Você pode se lembrar que as raízes quadradas são expoentes fracionários, ou o (a metade) de potência de 0,5.

Finalmente, note que

regra da soma de diferenças

Suponha existem duas funções, TR = g(q) e TC = h(q).

Você pode pensar da variável TR como receita total, a variável TC como o custo total, ea variável q como a quantidade do produto produzido. O símbolo g na função de receita total, com o símbolo h na função de custo total significa que a relação entre q e a receita total é diferente da relação entre q e o custo total.

Além disso, assume que a variável # 240- (lucro) é uma função de ambos TR e TC, assim

# 240- = TR - TC.

O derivado de # 240- com respeito a q é igual à soma (as funções podem ser adicionadas ou subtraídas) dos derivados de TR e TC em relação a q, ou,

Por exemplo,

Em seguida, os derivados de TR e TC em relação a q estamos

Usando a regra da soma de diferenças

Embora no exemplo as duas funções foram subtraídos, lembre-se que a regra diferença soma também funciona quando funções são adicionados.

regra do produto

Suponha que você tem duas funções, você = g(x) e v = h(x). Além disso, assume que y = você x v.

O derivado de y em relação a x é igual à soma de você multiplicado por o derivado de v e v multiplicado por o derivado de você, ou se

Por exemplo, se

Nesta equação, u = x³ e v = (9 + 4x - 7x²). Assim, o derivado de você em relação a x é

E o derivado de v em relação a x é

Então

regra do quociente

Um quociente refere-se ao resultado obtido quando uma quantidade, no numerador, é dividida por uma outra quantidade, no denominador.

Suponha que você tem duas funções, você = g(x) e v = h(x). Assim, você é a quantidade no numerador, e é uma função g do x. E v é a quantidade no denominador, e é uma função diferente da x como representado pela h. Além disso, assume que y = você/v. assim y é o quociente entre você dividido por v.

O derivado de y em relação a x tem dois componentes em seu numerador. O primeiro componente é a equação original v multiplicado por o derivado de você tomada com respeito à x, du / dx. Desse montante, você subtrai segundo componente do numerador, a equação original você multiplicado por o derivado de v tomada com respeito à x, dv / dx.

O dominador deste derivado é simplesmente a equação original, v, quadrado. Assim,

Por exemplo, se o quociente original está

Neste quociente, você = x³ e v = (5x - 2). O derivado de você com respeito x é

E o derivado de v em relação a x é

Assim, o primeiro componente de numerador é v multiplicado du / dx. A partir daí, subtrair o segundo componente do numerador, que é você multiplicado por dv / dx, ou

O denominador é v² ou

Substituindo tudo nas yields regra do quociente

regra da cadeia

Você está quase lá, e você provavelmente está pensando, . # 147 Não é um momento muito cedo # 148- Só mais uma regra é normalmente usado em economia gerencial - a regra da cadeia.

Para a regra da cadeia, você assume que uma variável z é uma função de y- isso é, z = f(y). Além disso, assume que y é uma função de x- isso é, y = g(x). O derivado de z em relação a x é igual ao derivativo de z em relação a y multiplicado por o derivado de y em relação a x, ou

Por exemplo, se

Então

substituindo y = (3x² - 5x +7) para dentro dz / dx rendimentos

Com esta última substituição, você remove a terceira variável y a partir do derivado, e, como resultado, você tem uma função para dz / dx apenas em termos de x.