Como usar a função Langrangian em Economia Gerencial

situações de negócios são ainda mais complicados por restrições, que podem ser contabilizados de economia gerencial utilizando o Lagrangeana

. Talvez a empresa assinou um contrato para produzir 1.000 unidades do bom dia, ou o negócio tem certas entradas, como o tamanho da fábrica, que não podem ser alterados. Restrições limitam as opções da empresa. Seu objetivo é otimizar uma função sujeita às limitações ou restrições.

o Lagrangeana é uma técnica que combina a função a ser otimizada com funções que descrevem o constrangimento ou restrições em uma única equação. Resolvendo a função de Lagrange permite otimizar a variável que você escolher, sem prejuízo das restrições que você não pode mudar.

Como identificar o seu objetivo (função)

o função objetiva é a função que você está otimizando. A variável dependente na função objetivo representa o seu objetivo - a variável que você deseja otimizar. Exemplos de funções objetivo incluir a função de lucro para maximizar o lucro e a função de utilidade para os consumidores a maximizar a satisfação (utilidade).

funções de restrição

UMA função de restrição representa uma limitação em seu comportamento. A variável dependente na restrição representa a limitação. Exemplos de funções de restrição incluem o número de unidades que devem produzir para satisfazer um contrato e do orçamento disponível para o consumidor.

Como construir a função de Lagrange

A técnica para a construção de uma função de Lagrange é combinar a função objetivo e todas as restrições de uma forma que satisfaça duas condições. Em primeiro lugar, otimizando a função de Lagrange deve resultar na otimização da função objetivo. Em segundo lugar, todas as restrições devem ser satisfeitas. A fim de satisfazer estas condições, use as seguintes etapas para especificar a função de Lagrange.

Assumir você é a variável a ser optimizado e que é uma função das variáveis x e z. Portanto,

Além disso, existem duas restrições, c₁ e c₂, que também são funções de x e z;

As etapas a seguir estabelecer a função de Lagrange:

1. Respecify as restrições de modo a que eles igual a zero.

   
2. Multiplicar as restrições por os factores lambda lambda e um dois, # 235-₁ e # 235-₂, respectivamente (mais sobre isso em um momento).

   

3. Adicione as restrições com o termo lambda para a função objetivo, a fim de formar a função de Lagrange # 194- '.

   

Nesta especificação da função de Lagrange, as variáveis ​​são representados pela x, z, # 955-₁, e # 955-₂. Tomando as derivadas parciais da Lagrangeanos com respeito a # 955-₁ e # 955-₂ e colocá-los igual a zero garantir que suas limitações são satisfeitas, tendo as derivadas parciais da Lagrangiana com respeito a x e z e colocá-los igual a zero otimizar sua função objetivo.

O Multiplicador de Lagrange

economia gerencial tem um monte de atalhos úteis. Um desses atalhos é a # 955- usado na função de Lagrange. Na função de Lagrange, os constrangimentos são multiplicados pela variável # 955-, que é chamado o multiplicador de Lagrange.

Esta variável é importante porque # 955- medidas a mudança que ocorre na variável a ser optimizado dada uma mudança de uma unidade na restrição. Se você está tentando minimizar o custo de produção de uma dada quantidade de produção, # 955- diz-lhe quanto totais mudanças de custo se você produzir mais uma unidade de produto. Isto permite-lhe avaliar rapidamente as relações entre restrições e a variável a ser otimizados.

Suponha que sua empresa tem um contrato que a obriga a produzir 1.000 unidades de um bom dia. A empresa usa trabalho e capital para produzir o bem. A quantidade de trabalho empregado, eu, é medido em horas, eo salário é de US $ 10 por hora. A quantidade de capital empregado, K, é medida em máquinas-horas, eo preço por hora-máquina é de R $ 40. Assim, o custo total da sua empresa, TC, é igual a

A função de produção descreve a relação entre as quantidades de trabalho e capital utilizado ea quantidade de bens produzidos

Por contrato, q deve ser igual a 1,000. Você deve determinar a quantidade de trabalho e capital para usar, a fim de minimizar o custo de produção de 1.000 unidades do bem.

1. Criar uma função de Lagrange. Reconhecer que a variável que você está tentando otimizar é o custo total - especificamente, você está tentando minimizar o custo total. Assim, sua função objetiva é 10eu + 40K. Em segundo lugar, a restrição é que 1.000 unidades do bem tem que ser produzido a partir da função de produção. Portanto, sua restrição é

   1000 - 20eu^0,5K^0,5 = 0.

   Sua função Lagrangiana é

   

2. Tome a derivada parcial da Lagrangiana com respeito ao trabalho e capital - eu e K - e pô-los igual a zero. Estas equações assegurar que a função de objectivo está a ser optimizado - neste caso, o custo total é minimizada.

   

3. Tome a derivada parcial da função de Lagrange com respeito a # 235- e defini-lo igual a zero. Este derivado parcial garante que a restrição - produzir 1.000 unidades do bem diariamente - está satisfeito.

   

4. Resolver os três derivadas parciais, simultaneamente, para as variáveis eu, K, e # 235- para minimizar o custo total da produção de 1.000 unidades do bem.

   Reescrevendo a derivada parcial de # 914- 'com relação a eu permite-lhe para resolver # 955-.

   

   Substituindo a equação anterior para # 955- na derivada parcial de # 914- 'com relação a K rendimentos

   

5. substituta 4K para eu na restrição (parcial do derivado de L em relação ao # 235-) para se obter

   

   Assim, sua empresa deve usar 25 horas de máquina do capital diariamente.

   Porque você determinado anteriormente eu 4 =K

   

   Finalmente, você pode resolver para # 955;

   

   Portanto, a combinação de 100 horas de trabalho e 25 máquinas-horas de capital de minimizar o custo total de produção de 1.000 unidades do bem diariamente. Além, # 955- é igual a 2. Lembre-se que lambda indica a mudança que ocorre na função objetivo dada uma mudança de uma unidade na restrição. Assim, se sua empresa quer produzir mais uma unidade do bem, o total de aumentos de custos de US $ 2.