A exceção Buraco de continuidade e Limites

A exceção buraco é a única exceção à regra de que a continuidade e limites caminham lado a lado, mas é um enorme exceção. É também um pouco estranho dizer que a continuidade e limites geralmente andam de mãos dadas e falar sobre isso exceção porque a exceção é o ponto inteiro. Quando você vem até a ele, a exceção é mais importante do que a regra. Considere as duas funções, r e s, mostrado aqui.

Essas funções têm lacunas na x= 2 e, obviamente, não são contínuas, mas eles Faz têm limites como x abordagens 2. Em cada caso, o limite é igual à altura do buraco.

A exceção do furo: A única maneira de uma função pode ter um limite de regular, de dois lados onde não é contínua é onde a descontinuidade é um buraco infinitesimal na função.

Assim, as duas funções na figura têm o mesmo limite x aproxima 2- o limite é de 4, e os fatos que r(2) = 1 e que s(2) é indefinida são irrelevantes. Para ambas as funções, conforme x zeros no dia 2 de ambos os lados, a altura da função de zeros na altura do buraco - que é o limite. Esta pena repetir:

O limite em um furo: O limite em um furo é a altura do buraco.

"Isso é ótimo", você pode estar pensando. "Mas por que eu deveria me importar?" Bem, ficar com isso por apenas um minuto. Suponha que você soltar uma bola e você tenta calcular a velocidade média durante zero, o tempo decorrido. Isto lhe daria

Porque

é indefinida, o resultado seria um furo na função. furos funcionam muitas vezes surgem a partir da impossibilidade de divisão de zero por zero. É destas funções onde o processo limite é crítica, e tais funções são o coração do significado de um derivado, e seus derivados estão no coração do cálculo diferencial.

A ligação derivado de buracos: Um derivado sempre envolve a fracção indefinido

e sempre envolve o limite de uma função com um buraco.