Como usar limites para determinar Continuidade
Aqui você vai aprender sobre a continuidade para um pouco, então, ir para a ligação entre continuidade e limites, e, finalmente, passar para a definição formal de continuidade.
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definição bom senso de continuidade
A continuidade é um conceito tão simples - realmente. UMA contínuo função é simplesmente uma função sem lacunas - uma função que você pode desenhar sem tirar o lápis do papel. Considere as quatro funções nesta figura.
Seja ou não uma função é contínua é quase sempre óbvia. As duas primeiras funções nesta figura - f (x) e g(x) - Não têm lacunas, por isso eles são contínuos. Os dois seguintes - p(x) e q(x) - Têm lacunas na x = 3, então eles não são contínuas.
Isso é tudo que existe para isso! Bem, não exatamente. As duas funções com lacunas não são contínuos em todos os lugares, mas porque você pode desenhar seções deles sem tirar o lápis do papel, você pode dizer que uma parte dessas funções são contínuas.
E, às vezes, uma função é contínua em todos os lugares está definido. Tal função é descrita como sendo contínuo ao longo de todo o seu domínio, o que significa que a sua fenda ou aberturas ocorrer em x-valores em que a função é indefinida. A função p(x) É contínua ao longo de todo o seu domínio- q(x), Por outro lado, não é contínua ao longo de todo o seu domínio porque não é contínua em x = 3, que está no domínio da função. Muitas vezes, a questão importante é saber se uma função é contínua em um determinado x-valor. É a menos que haja uma lacuna lá.
Todas as funções polinomiais são contínuas em toda parte. Todas as funções racionais - uma função racional é o quociente de duas funções polinomiais - são contínuas sobre os seus domínios inteiros.
A conexão continuidade limite
Com uma exceção grande (o que você vai ter que em um minuto), continuidade e limites caminham lado a lado. Por exemplo, considere novamente funções f, g, p, e q. Funções f e g são contínuas em x = 3, e ambos têm limites em x = 3. Funções p e q, Por outro lado, não são contínuas em x = 3, e que eles não têm limites em x = 3. A exceção à regra diz respeito a funções de buracos. Na verdade, quando você vem até a ele, a exceção é mais importante do que a regra. Considere as duas funções na próxima figura.
Essas funções têm lacunas na x = 3 e não são, obviamente, contínua lá, mas eles têm limites quanto x abordagens 3. Em cada caso, o limite é igual à altura do buraco. Um buraco infinitesimal em uma função é o único lugar uma função pode ter um limite em que não é contínuo.
Ambas as funções na figura têm o mesmo limite x aproxima 3- o limite é de 9, e os fatos que r(3) = 2 e que s(3) está indefinida são irrelevantes. Para ambas as funções, conforme x zeros em em 3 de de ambos os lados, a altura da função zeros dentro na altura do buraco - que é o limite.
O limite em um furo é a altura de um buraco.
definição formal de continuidade
Uma função f (x) É contínua num ponto x = uma se as seguintes três condições forem satisfeitas:
Assim como com a definição formal de um limite, a definição de continuidade é sempre apresentado como um teste de 3 partes, mas a condição 3 é o único que você precisa se preocupar, porque 1 e 2 são incorporadas 3. Você deve se lembrar, no entanto , essa condição 3 é não satisfeito quando os lados esquerdo e direito da equação são tanto indefinido ou inexistente.