Entender o que faz uma função integrável

Quando os matemáticos discutir se uma função é integrável, eles não estão falando sobre a dificuldade de computação que integrante - ou mesmo se um método foi descoberto. Todos os anos, os matemáticos encontrar novas maneiras de integrar classes de funções. No entanto, este fato não significa que as funções anteriormente nonintegrable estão agora integrável.

Da mesma forma, integrabilidade de uma função também não depende se sua integral pode ser facilmente representado como uma outra função, sem recorrer a série infinita.

Na verdade, quando os matemáticos dizem que uma função é integrável, eles significam apenas que o integral é bem definida - isto é, que o integral faz sentido matemático.

Em termos práticos, integrabilidade depende de continuidade: Se uma função contínua é em um determinado intervalo, é integrável em que intervalo. Além disso, se uma função tem apenas um número finito de alguns tipos de descontinuidades de um intervalo, que é também integrável em que intervalo.

Muitas funções - tais como aqueles com descontinuidades, curvas fechadas, e encostas verticais - são não diferenciável. funções descontínuas também não diferenciável. No entanto, as funções com curvas fechadas e encostas verticais são integráveis.

Por exemplo, a função y = |x| contém uma ponta afiada na x = 0, então a função é indiferenciável neste ponto. No entanto, a mesma função é integrável para todos os valores de x. Este é apenas um dos infinitamente muitos exemplos de uma função que é integrável mas não diferenciável em todo o conjunto de números reais.

Assim, surpreendentemente, o conjunto de funções diferenciáveis ​​é, na verdade, um subconjunto do conjunto de funções integráveis. Na prática, no entanto, calcular o integral da maioria das funções é mais difícil do que o derivado de computação.