Como avaliar uma integral imprópria que é verticalmente Infinito
integrais impróprias são úteis para a resolução de uma variedade de problemas. UMA verticalmente infinita
integral imprópria contém, pelo menos, uma assíntota vertical. Verticalmente infinitas integrais impróprias são mais difíceis de reconhecer do que aqueles que estão na horizontal infinito. Um integrante deste tipo contém pelo menos uma assíntota vertical na área que você está medindo. (UMA assíntota vertical é um valor de x Onde f(x) É igual a um ou -.) A assíntota pode ser um limite de integração ou pode cair em algum lugar entre os dois limites de integração.Não tente a deslizar por e avaliar integrais impróprias como integrais adequadas. Na maioria dos casos, você vai ter a resposta errada!
Há dois casos em que você precisa para lidar com integrais impróprias verticalmente infinitas.
Manipulação de limites assintóticos de integração
Suponha que você deseja avaliar a seguinte integral:
À primeira vista, você pode ser tentado a avaliar isto como uma integral adequada. Mas esta função tem uma assíntota em x = 0. A presença de uma assíntota em um dos limites da integração obriga a avaliar este como uma integral imprópria.
Expressar a integral como o limite de uma integral adequada:
Repare que neste limite, c se aproxima de 0 a partir do mesmo - isto é, a partir do lado positivo - porque esta é a direcção de aproximação a partir de dentro dos limites da integração. (Isso é o que o pequeno sinal de mais no limite significa.)
Avaliar a integral:
Esta integral é facilmente avaliada como
Usando a regra de energia:
Avaliar o limite:
Neste ponto, a substituição direta fornece-lhe com a sua resposta final:
2 =
Remendar integrandos juntos descontínuas
Se uma função é contínua no intervalo, é também integrável em que intervalo. Algumas integrais que são verticalmente infinita tem asymptotes não nas bordas, mas em algum lugar no meio. O resultado é um integrando descontínua - isto é, uma função com uma descontinuidade no intervalo que você está tentando integrar.
integrandos descontínuos são os mais difíceis integrais impróprias para manchar - você realmente precisa saber como o gráfico da função que você está integrando comporta.
Para avaliar uma integral imprópria deste tipo, separá-lo em cada assíntota em duas ou mais integrais. Em seguida, avaliar cada um dos integrais resultantes como uma integral imprópria.
Por exemplo, suponha que pretende avaliar a seguinte integral:
Uma vez que o gráfico da seg x contém uma assíntota de
o gráfico da seg2 x tem uma assíntota no mesmo lugar. Por exemplo, um gráfico da integral imprópria
em ilustrado nesta figura.
Para avaliar esta integral, dividi-lo em duas integrais, no valor de x onde a assíntota situa-se:
Agora avaliar a soma dos dois integrais impróprias resultantes.
Você pode salvar um monte de trabalho por perceber quando duas regiões são simétricas. Neste caso, a assíntota de
divide a área sombreada em duas regiões simétricas. Assim, você pode encontrar um integral e, em seguida, dobrá-lo para obter a sua resposta:
Agora avaliar esta integral:
Expressar a integral como o limite de uma integral adequada:
Neste caso, a assíntota vertical está no limite superior da integração, assim c abordagens
a partir da esquerda - isto é, a partir de dentro do intervalo onde está medindo a área.
Avaliar a integral:
Avaliar o limite:
Observe que
é indefinido, porque a função tan x tem uma assíntota de
de modo que o limite não existe (DNE). Portanto, a integral que você está tentando avaliar também não existe porque a área que ele representa é infinito.