Como integrar composições de Funções
As composições de funções - isto é, uma função aninhada dentro de outra - são da forma f(g(x)). Você pode integrá-los, substituindo você = g(x) quando
Você sabe como integrar a função externa f.
A função interna g(x) Diferencia a uma constante - isto é, é da forma machado ou machado + b.
Aqui está um exemplo. Suponha que você deseja integrar a função, csc2 (4x + 1).
Esta é uma composição de duas funções:
A função externa f é o CSC2 (você) Função.
A função interna é g(x) 4 =x + 1, que diferencia a constante de 4.
A composição é mantido unido pela igualdade você 4 =x + 1. Isto é, as duas funções básicas f(você) = Csc2 você e g(x) 4 =x + 1are composta pela igualdade você 4 =x + 1 para produzir a função f(g(x)) = Csc2 (4x + 1).
Ambos os critérios são cumpridos, de modo que este integral é um excelente candidato para substituição usando você 4 =x + 1. Veja como fazer isso:
Declare uma variável você e substituí-lo para o integrante:
Diferenciar você 4 =x + 1 e isolar o x prazo.
Isto dá-lhe o diferencial, du 4 =dx.
Substituto du/ 4 para dx na integral:
Avaliar a integral:
Substituir back 4x + 1 para você:
Aqui está mais um exemplo. Suponha que você deseja avaliar a seguinte integral:
Esta é uma composição de duas funções:
A função externa f é uma fração - tecnicamente, um expoente -1 - que você sabe como integrar.
A função interna é g(x) = x - 3, que diferencia a 1.
A composição é mantido unido pela igualdade você = x - 3. Isto é, as duas funções básicas
são compostos pela igualdade você = x - 3 para produzir a função
Os critérios são cumpridos, para que possa integrar usando a igualdade você = x - 3:
Declare uma variável você e substituí-lo para o integrante:
Diferenciar você = x - 3 e isolar o x prazo.
Isto dá-lhe o diferencial du = dx.
Substituto du para dx na integral:
Avaliar a integral:
= Ln |você| + C
substituir volta x - 3 para você:
= Ln |x - 3 | + C